Determine uma transformação linear T: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) que satisfaça simultaneamente as seguintes condições:
(a) p(x)=\left(1+x^{2}\right) \in \operatorname{Nuc}(T);
(b) q(x)=1 \notin \operatorname{Nuc}(T);
(c) A=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right) \in \operatorname{Im}(T).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
\;T\colon \mathcal{P}_2(\mathbb{R})\to M_2(\mathbb{R})
tais que
1. \,1+x^2\in\ker(T),
2. 1\notin\ker(T),
3. \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\in\mathrm{Im}(T).
Vamos usar a ideia de escolher a imagem dos polinômios da base \{1,x,x^2\} de forma conveniente.

Passo 2

Seja a base de \mathcal{P}_2(\mathbb{R}) dada por
\;e_1=1,\;e_2=x,\;e_3=x^2.
Escrevemos
T(e_1)=M_1,\qquad T(e_2)=M_2,\qquad T(e_3)=M_3,
com M_i\in M_2(\mathbb{R}).

Passo 3

A condição \,1+x^2\in\ker(T) equivale a
T(e_1+e_3)=T(e_1)+T(e_3)=M_1+M_3=0,
logo
M_3=-\,M_1.
Além disso, queremos 1\notin\ker(T), ou seja, M_1\neq0.

Passo 4

Para garantir que a imagem contenha
\;A=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&1\end{pmatrix},
basta escolher M_1 e M_2 tais que A fique no span \{M_1,M_2\}.
Tomemos, por simplicidade, as matrizes canônicas
M_1 = E_{11} = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, \qquad M_2 = E_{22} = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Então
M_3 = -M_1 = -E_{11}.

Passo 5

Verificações:
1. T(1)=M_1=E_{11}\neq0, logo 1\notin\ker(T).
2. T(x^2)=M_3=-E_{11}.
Assim T(1+x^2)=E_{11}-E_{11}=0, logo 1+x^2\in\ker(T).
3. A imagem de T é \mathrm{span}\{E_{11},E_{22}\}, e
A = 2\,E_{11}+1\,E_{22}\in\mathrm{Im}(T).
Tudo confere.

Passo 6

Qual é a fórmula geral de T?
Para p(x)=a+bx+cx^2 temos
T(p)=a\,T(1)+b\,T(x)+c\,T(x^2) =a\,E_{11}+b\,E_{22}+c\,(-E_{11}) =(a-c)\,E_{11}+b\,E_{22}.

Resposta

T\!\bigl(a+bx+cx^2\bigr) = \begin{pmatrix}a-c & 0 \\[6pt] 0 & b\end{pmatrix}.]

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