Sabendo que T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é uma aplicação linear e que
T(1,2)=(3,-1) \quad \text { e } \quad T(0,1)=(1,2)
encontrar a expressão de T(x, y) para ( x, y ) um vetor genérico do \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 e informa
T(1,2)=(3,-1) \quad\text{e}\quad T(0,1)=(1,2).
Queremos encontrar uma fórmula para T(x,y) usando linearidade e a base canônica.

Passo 2

Observe que
(1,2) = 1\cdot(1,0) + 2\cdot(0,1).
Pela linearidade,
T(1,2) = T\bigl(1\cdot(1,0) + 2\cdot(0,1)\bigr) = T(1,0) + 2\,T(0,1).
Como T(1,2)=(3,-1) e T(0,1)=(1,2), temos
T(1,0) + 2\,(1,2) = (3,-1) \quad\Longrightarrow\quad T(1,0) = (3,-1) - (2,4) = (1,-5).

Passo 3

Para um vetor genérico (x,y) escrevemos
(x,y) = x\,(1,0) + y\,(0,1),
logo pela linearidade
T(x,y) = x\,T(1,0) + y\,T(0,1) = x\,(1,-5) + y\,(1,2).
Somando coordenadas, sai
T(x,y) = (\,x + y,\,-5x + 2y\,).

Resposta

T(x,y) = (\,x + y,\,-5x + 2y\,).

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