Determinar os número reais a, b, c de modo que f(x)=(a-2) x^{3}+(b+2) x+(3-c) seja uma função polinomial nula.

Passo 1

O enunciado pede para achar a,b,c\in\mathbb{R} tais que
f(x) = (a-2)x^3 + (b+2)x + (3-c)
seja a função polinomial nula, isto é, f(x)=0 para todo x. Vamos usar o fato de que um polinômio é identicamente nulo se, e somente se, todos os seus coeficientes forem zero.

Passo 2

Igualando os coeficientes de cada potência de x a zero, obtemos
a-2 = 0,\quad b+2 = 0,\quad 3-c = 0.

Passo 3

Basta resolver cada equação:
a-2 = 0 \implies a = 2,
b+2 = 0 \implies b = -2,
3-c = 0 \implies c = 3.

Resposta

a = 2,\; b = -2,\; c = 3.

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