Determine m, n, k \in \mathbb{C} de forma que p(x)=m x^{3}+(m-n) x^{2}+5 k i seja igual a q(x)=3 x^{3}+10 x^{2}-(3+i).

Passo 1

O enunciado pede para determinar m,n,k\in\mathbb{C} tais que os polinômios
p(x)=m x^{3} + (m - n)x^{2} + 5\,k\,i
e
q(x)=3x^{3} + 10x^{2} - (3 + i)
sejam idênticos em todos os coeficientes. Para isso, vamos usar o fato de que dois polinômios são iguais se, e somente se, todos os seus coeficientes correspondentes forem iguais.

Passo 2

Igualando os coeficientes de x^3 em p(x) e q(x), obtemos
m = 3.

Passo 3

Agora igualamos os coeficientes de x^2:
m - n = 10.
Substituindo m=3, vem
3 - n = 10 \quad\Longrightarrow\quad n = 3 - 10 = -7.

Passo 4

Por fim, igualamos os termos constantes:
5\,k\,i = -\bigl(3 + i\bigr).
Para encontrar k, dividimos ambos os lados por 5i:
k = \frac{-3 - i}{5\,i}.
Multiplicando numerador e denominador por -i para simplificar, temos
k = \frac{(-3 - i)(-i)}{5\,i\,(-i)} = \frac{3i + i^{2}}{5} = \frac{3i - 1}{5} = -\tfrac{1}{5} + \tfrac{3}{5}i.

Resposta

m = 3,\quad n = -7,\quad k = -\tfrac{1}{5} + \tfrac{3}{5}i.

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