: Seja F(t)=\left\langle\frac{e^{t}-1}{t}, \frac{\sqrt{1+t}-1}{t}, \frac{3}{t+1}\right\rangle uma função vetorial.
a) Determine o domínio de F(t).
b) Verifique se
F(t)=\left\{\begin{array}{rl} \frac{e^{t}-1}{t}, & \frac{\sqrt{1+t}-1}{t}, \frac{3}{t+1}, \quad \text { se } t \neq 0 \\\ i+\frac{1}{2} j+3 k, & \text { se } t=0 \end{array} .\right.
é contínua em t=0.

Passo 1

O enunciado define a função vetorial
F(t)=\left\langle \frac{e^{t}-1}{t},\,\frac{\sqrt{1+t}-1}{t},\,\frac{3}{t+1}\right\rangle
e pede:
  • (a) determinar o domínio de F\), isto é, todos os \(t\in\mathbb{R}\) onde as três componentes estão definidas; - (b) verificar se a versão estendida \[F(t)= \begin{cases} \displaystyle \Bigl(\frac{e^{t}-1}{t},\,\frac{\sqrt{1+t}-1}{t},\,\frac{3}{t+1}\Bigr), & t\neq0,\\[1em] (1,\,\tfrac12,\,3), & t=0 \end{cases}
é contínua em t=0\]. Para isso, vamos precisar usar restrições de domínio, limiares de funções (incluindo L’Hôpital ou derivadas para as formas \(\tfrac{0}{0}) e comparar o limite com o valor dado em t=0.]

Passo 2

Analisamos cada componente para achar as restrições em t:
  1. \displaystyle \frac{e^{t}-1}{t} exige t\neq0 para não anular o denominador.
  2. \displaystyle \frac{\sqrt{1+t}-1}{t} exige 1+t\ge0 (para a raiz real) e t\neq0. Portanto t\ge-1 e t\neq0.
  3. \displaystyle \frac{3}{t+1} exige t+1\neq0, ou seja t\neq-1.

Passo 3

Combinando todas as condições:
  • De (1) e (2) vem t\neq0.
  • De (2) vem ainda t\ge-1.
  • De (3) vem t\neq-1.
    Logo o domínio de F é
\{\,t\in\mathbb{R}\mid t\ge-1,\;t\neq-1,\;t\neq0\} =\;(-1,0)\;\cup\;(0,\infty).

Passo 4

Para testar continuidade em t=0, calculamos \displaystyle \lim_{t\to0}F(t) e comparamos com F(0)=(1,\tfrac12,3).
  1. \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}.
    Aplicando L’Hôpital ou reconhecendo a derivada de e^t em 0, obtemos
\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t} = e^{0} = 1.
  1. \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\sqrt{1+t}-1}{t}.
    Pelo mesmo raciocínio (derivada de \sqrt{1+t} em t=0) ou L’Hôpital,
\lim_{t\to0}\frac{\sqrt{1+t}-1}{t} = \frac{1}{2\sqrt{1+0}} = \tfrac12.
  1. \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{3}{t+1} = \frac{3}{1} = 3.

Passo 5

Como
\lim_{t\to0}F(t) =\bigl(1,\,\tfrac12,\,3\bigr) =F(0),
concluímos que a função estendida é contínua em t=0.

Resposta

a) \displaystyle \mathrm{Dom}(F)=(-1,0)\cup(0,\infty).
b) Sim. Tem-se
\lim_{t\to0}F(t)=(1,\tfrac12,3)=F(0),
logo F é contínua em t=0.

Exercícios relacionados