Verifique que p(x)=2 x^{3}+3 x^{2}-x-1 é divisível por q(x)=2 x+1. Determinar todas as raizes de p(x).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o polinômio
p(x)=2x^{3}+3x^{2}-x-1
é divisível pelo polinômio linear
q(x)=2x+1
e, em seguida, determinar todas as raízes de p(x).
Vamos usar o Teorema do Resto para mostrar que x=-\tfrac12 é raiz de p e, depois, dividir p(x) por q(x) para obter um fator quadrático que resolveremos com a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

A raiz de q(x)=2x+1 é dada por
2x+1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\tfrac12.
Para verificar que p tem essa raiz, calculamos
p\bigl(-\tfrac12\bigr) =2\bigl(-\tfrac12\bigr)^{3}+3\bigl(-\tfrac12\bigr)^{2}-\bigl(-\tfrac12\bigr)-1 =-\tfrac14+\tfrac34+\tfrac12-1 =0.
Como p(-\tfrac12)=0, o Teorema do Resto garante que q(x)=2x+1 divide p(x).

Passo 3

Agora dividimos p(x) por q(x). Podemos usar divisão polinomial ou divisão sintética com a raiz x=-\tfrac12. O resultado é
p(x)=(2x+1)\bigl(x^{2}+x-1\bigr).

Passo 4

Para encontrar as outras raízes de p, basta resolver
x^{2}+x-1=0
pela fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1} =\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.

Resposta

As raízes de p(x) são
x=-\tfrac12,\quad x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\quad x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}.

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