Determinar se os operadores são inversíveis.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede: determinar se o operador é inversível.
- Dado: o operador
age em pares segundo a regra
- Pressuposição natural (não foi dada explicitamente, mas é a mais comum):
é um operador linear de em com a regra acima.
Passo 2
O que significa “inversível” e critérios que vamos usar (aula rápida).
- Um operador linear
(com espaço vetorial finito, aqui ) é inversível se existe outro operador linear tal que
para todo
. Esse
é chamado
.
- Fatos úteis e equivalentes para linear maps em espaços de dimensão finita:
-
é inversível é bijetiva (injeção + sobrejeção). -
é injetora (núcleo trivial). - Se representarmos
pela matriz na base padrão de , então é inversível .
-
- Vou usar os critérios do núcleo e da matriz (determinante), porque são diretos aqui.
Passo 3
Verificação de linearidade (curto lembrete e checagem).
- Um mapa
é linear se satisfaz duas propriedades: e para vetores e escalar . - Para
: - Soma:
. - Homogeneidade:
.
- Soma:
- Logo,
é linear. Podemos aplicar os critérios lineares.
Passo 4
Cálculo do núcleo de
(teste de injetividade).
- Precisamos resolver
. Isso dá o sistema
- Da primeira equação vem
. Da segunda vem . - Portanto
, ou seja, o núcleo é trivial. - Como
e é linear, núcleo trivial implica injetividade. Em dimensão finita igual (2→2), injetividade implica sobrejetividade também. Conclusão parcial: é bijetiva e, portanto, inversível.
Passo 5
Representação matricial e determinante (checagem alternativa).
- Na base padrão de
, a matriz de é
porque
(primeira coluna) e
(segunda coluna).
- O determinante é
- Como
, a matriz é invertível, logo é invertível. Isso confirma a conclusão do passo anterior.]
Passo 6
Construção explícita da inversa
e verificação.
- Se
, então por definição
- Resolver para
em função de dá
- Portanto a inversa
é o mapa
- Checagem rápida:
e . Funciona.
Resposta
Sim.
é inversível. A inversa é
.