Determinar se os operadores são inversíveis.
T(x, y)=(x, 2 y)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede: determinar se o operador é inversível.
  • Dado: o operador T age em pares (x,y) segundo a regra
T(x,y)=(x,2y).
  • Pressuposição natural (não foi dada explicitamente, mas é a mais comum): T é um operador linear de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2 com a regra acima.

Passo 2

O que significa “inversível” e critérios que vamos usar (aula rápida).
  • Um operador linear T: V\to V (com V espaço vetorial finito, aqui \mathbb{R}^2) é inversível se existe outro operador linear S: V\to V tal que
S\big(T(v)\big)=v\quad\text{e}\quad T\big(S(w)\big)=w
para todo v,w\in V. Esse S é chamado T^{-1}.
  • Fatos úteis e equivalentes para linear maps em espaços de dimensão finita:
    1. T é inversível \iff T é bijetiva (injeção + sobrejeção).
    2. T é injetora \iff \ker(T)=\{0\} (núcleo trivial).
    3. Se representarmos T pela matriz A na base padrão de \mathbb{R}^2, então T é inversível \iff \det(A)\neq0.
  • Vou usar os critérios do núcleo e da matriz (determinante), porque são diretos aqui.

Passo 3

Verificação de linearidade (curto lembrete e checagem).
  • Um mapa T é linear se satisfaz duas propriedades: T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\lambda v)=\lambda T(v) para vetores u,v e escalar \lambda.
  • Para T(x,y)=(x,2y):
    • Soma: T((x_1,y_1)+(x_2,y_2))=T(x_1+x_2,y_1+y_2)=(x_1+x_2,2(y_1+y_2))=(x_1,2y_1)+(x_2,2y_2)=T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2).
    • Homogeneidade: T(\lambda(x,y))=T(\lambda x,\lambda y)=(\lambda x,2\lambda y)=\lambda(x,2y)=\lambda T(x,y).
  • Logo, T é linear. Podemos aplicar os critérios lineares.

Passo 4

Cálculo do núcleo de T (teste de injetividade).
  • Precisamos resolver T(x,y)=(0,0). Isso dá o sistema
x=0,\qquad 2y=0.
  • Da primeira equação vem x=0. Da segunda vem y=0.
  • Portanto \ker(T)=\{(0,0)\}, ou seja, o núcleo é trivial.
  • Como T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 e é linear, núcleo trivial implica injetividade. Em dimensão finita igual (2→2), injetividade implica sobrejetividade também. Conclusão parcial: T é bijetiva e, portanto, inversível.

Passo 5

Representação matricial e determinante (checagem alternativa).
  • Na base padrão de \mathbb{R}^2, a matriz de T é
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix},
porque T(1,0)=(1,0) (primeira coluna) e T(0,1)=(0,2) (segunda coluna).
  • O determinante é
\det(A)=1\cdot 2 - 0\cdot 0 = 2.
  • Como \det(A)=2\neq 0, a matriz A é invertível, logo T é invertível. Isso confirma a conclusão do passo anterior.]

Passo 6

Construção explícita da inversa T^{-1} e verificação.
  • Se T(x,y)=(u,v), então por definição
u=x,\qquad v=2y.
  • Resolver para x,y em função de u,v
x=u,\qquad y=\tfrac{v}{2}.
  • Portanto a inversa T^{-1} é o mapa
T^{-1}(u,v)=\left(u,\tfrac{v}{2}\right).
  • Checagem rápida: T^{-1}\big(T(x,y)\big)=T^{-1}(x,2y)=(x,\tfrac{2y}{2})=(x,y) e T\big(T^{-1}(u,v)\big)=T(u,\tfrac{v}{2})=(u,2\cdot\tfrac{v}{2})=(u,v). Funciona.

Resposta

Sim. T é inversível. A inversa é T^{-1}(x,y)=\left(x,\tfrac{y}{2}\right).

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