Determinar se os operadores são inversíveis.
Passo 1
O enunciado dá um operador
definido em
por
A pergunta é: este operador é inversível? Ou seja, existe um operador
tal que
para todo
?
Passo 2
Primeiro, vou transformar o operador em sua representação matricial na base canônica, porque fica muito prático decidir inversibilidade com a matriz. Para isso uso os vetores da base canônica
e
.
Calculo
aplicado aos vetores da base:
Esses resultados são as colunas da matriz de
na base canônica.
Passo 3
A matriz associada a
(colunas sendo
e
) é
Passo 4
Para matrizes
a forma padrão de verificar inversibilidade é calcular o determinante. A regra do determinante para
Aqui
,
,
,
. Então
Faço a conta passo a passo:
Passo 5
O determinante
é diferente de zero. Isso significa que a transformação linear representada por
é bijetiva (invertível). Intuitivamente, um determinante não nulo diz que a transformação não “aplaina” o plano em uma linha nem em um ponto — ela preserva área até um fator não nulo — e portanto tem inversa linear.
Passo 6
Para exercício prático, mostro também a inversa explícita: para matriz
a inversa é
Aplicando aos valores
,
,
,
e
, obtemos
Passo 7
Verificação rápida (multiplicação matricial) para garantir que realmente é a inversa:
As contas das entradas dão:
primeira linha, primeira coluna: ;
primeira linha, segunda coluna: ;
segunda linha, primeira coluna: ;
segunda linha, segunda coluna: .
primeira linha, primeira coluna:
primeira linha, segunda coluna:
segunda linha, primeira coluna:
segunda linha, segunda coluna:
Isso confirma que a matriz encontrada é de fato a inversa.]
Resposta
Sim. O operador é inversível.
A inversa (na base canônica) é com
A inversa (na base canônica) é