Determinar se os operadores são inversíveis.
T(x, y)=(3 x-4 y, 2 y-2 x)

Passo 1

O enunciado dá um operador T definido em \mathbb{R}^2 por
T(x,y)=(3x-4y,\;2y-2x).
A pergunta é: este operador é inversível? Ou seja, existe um operador T^{-1}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 tal que T^{-1}(T(v))=v para todo v\in\mathbb{R}^2?

Passo 2

Primeiro, vou transformar o operador em sua representação matricial na base canônica, porque fica muito prático decidir inversibilidade com a matriz. Para isso uso os vetores da base canônica (1,0) e (0,1).
Calculo T aplicado aos vetores da base:
T(1,0) = (3\cdot1-4\cdot0,\;2\cdot0-2\cdot1)=(3,-2),
T(0,1) = (3\cdot0-4\cdot1,\;2\cdot1-2\cdot0)=(-4,2).
Esses resultados são as colunas da matriz de T na base canônica.

Passo 3

A matriz associada a T (colunas sendo T(1,0) e T(0,1)) é
A=\begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt] -2 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para matrizes 2\times2 a forma padrão de verificar inversibilidade é calcular o determinante. A regra do determinante para
\displaystyle A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} é
\det(A)=ad-bc.
Aqui a=3, b=-4, c=-2, d=2. Então
\det(A)=3\cdot2 - (-4)\cdot(-2).
Faço a conta passo a passo:
3\cdot2 = 6, \qquad (-4)\cdot(-2)=8,
\det(A)=6-8=-2.]

Passo 5

O determinante \det(A)=-2 é diferente de zero. Isso significa que a transformação linear representada por A é bijetiva (invertível). Intuitivamente, um determinante não nulo diz que a transformação não “aplaina” o plano em uma linha nem em um ponto — ela preserva área até um fator não nulo — e portanto tem inversa linear.

Passo 6

Para exercício prático, mostro também a inversa explícita: para matriz 2\times2
\displaystyle A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} com \det(A)\neq0,
a inversa é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando aos valores a=3, b=-4, c=-2, d=2 e \det(A)=-2, obtemos
A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt] -1 & -\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (multiplicação matricial) para garantir que realmente é a inversa:
A A^{-1}= \begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt] -2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt] -1 & -\tfrac{3}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
As contas das entradas dão:
primeira linha, primeira coluna: 3\cdot(-1)+(-4)\cdot(-1)=-3+4=1;
primeira linha, segunda coluna: 3\cdot(-2)+(-4)\cdot(-\tfrac{3}{2})=-6+6=0;
segunda linha, primeira coluna: -2\cdot(-1)+2\cdot(-1)=2-2=0;
segunda linha, segunda coluna: -2\cdot(-2)+2\cdot(-\tfrac{3}{2})=4-3=1.
Isso confirma que a matriz encontrada é de fato a inversa.]

Resposta

Sim. O operador é inversível.
A inversa (na base canônica) é \displaystyle T^{-1}(u)=A^{-1}u com
A^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt] -1 & -\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.]

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