Exercício
Seja \{\mathrm{u}, \mathrm{v}\} uma base ortonormal de um espaço de Hilbert H sobre ** { }^{* *}.
Seja P um operador linear que atua em H, tal que: \mathrm{P}(\mathrm{u})=\mathrm{i} \cdot \mathrm{v} P(v)=-i \cdot u
Responda:
a) Determine a matriz de P e verifique se o operador é Hermitiano ou unitário.
b) Encontre os autovalores e autovetores de P.
c) Verifique se os autovetores formam uma base de H .
Passo 1
O enunciado dá:
Uma base ortonormal \{\mathrm{u},\mathrm{v}\} de um espaço de Hilbert H.
Um operador linear \mathrm{P}:H\to H com\mathrm{P}(\mathrm{u})=\mathrm{i}\,\mathrm{v}, \qquad \mathrm{P}(\mathrm{v})=-\mathrm{i}\,\mathrm{u}.
As perguntas são:
(a) Determinar a matriz de \mathrm{P} na base \{\mathrm{u},\mathrm{v}\} e verificar se \mathrm{P} é Hermitiano e/ou unitário.
(b) Encontrar os autovalores e autovetores de \mathrm{P}.
(c) Verificar se os autovetores formam uma base de H.
Passo 2
Como a base \{\mathrm{u},\mathrm{v}\} é ortonormal, a matriz de \mathrm{P} nessa base tem como colunas as coordenadas de \mathrm{P}(\mathrm{u}) e \mathrm{P}(\mathrm{v}) em relação a \{\mathrm{u},\mathrm{v}\}.
\mathrm{P}(\mathrm{u})=\mathrm{i}\,\mathrm{v}=0\cdot\mathrm{u}+\mathrm{i}\cdot\mathrm{v} → primeira coluna =\begin{pmatrix}0\\\ \mathrm{i}\end{pmatrix}.
\mathrm{P}(\mathrm{v})=-\mathrm{i}\,\mathrm{u}=-\mathrm{i}\cdot\mathrm{u}+0\cdot\mathrm{v} → segunda coluna =\begin{pmatrix}-\mathrm{i}\\\\ 0\end{pmatrix}.
Logo, a matriz de \mathrm{P} na base \{\mathrm{u},\mathrm{v}\} é
Um operador é Hermitiano (auto-adjunto) se sua matriz satisfaz M^\dagger = M, onde M^\dagger é a conjugada transposta (conjugar todos os elementos e depois transpor).
Calculemos M^\dagger:
Portanto M^\dagger=M, ou seja, \mathrm{P} é Hermitiano.]
Passo 4
Definição e verificação Unitário:
Um operador é unitário se M^\dagger M = I (equivalente a M^{-1}=M^\dagger).
Como já temos M^\dagger=M (P é Hermitiano), basta verificar M^2=I.
Calcule M^2:
Logo M^\dagger M = M^2 = I, então \mathrm{P} é unitário também.
Observação intuitiva: é raro mas possível um operador ser simultaneamente Hermitiano e unitário; nesse caso os autovalores devem ser números reais com módulo 1, ou seja \pm1, como veremos.]
Passo 5
Cálculo dos autovalores:
Resolver \det(M-\lambda I)=0.
Ortonormalidade e independência linear:
Calcule o produto interno \langle \varphi_{+},\varphi_{-}\rangle. Em coordenadas da base ortonormal \varphi_{+}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(-\mathrm{i},1) e \varphi_{-}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(\mathrm{i},1). Usando a regra \langle x,y\rangle=\sum \overline{x_j}y_j,
Cada \varphi_{\pm} tem norma 1. Assim \{\varphi_{+},\varphi_{-}\} é uma base ortonormal de H (dimensão 2), portanto formam uma base (são linearmente independentes e geram H).