Determinar a imagem, uma base para esse subesáço e sua dimensão, T é sobrejetora?
T(x, y)=(y+x, x-2 y)

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(y+x,\;x-2y).
O que o problema pede:
  • Determinar a imagem de T (isto é, \operatorname{Im}(T)).
  • Dar uma base para esse subespaço.
  • Determinar a dimensão desse subespaço.
  • Responder se T é sobrejetora (isto é, se atinge todo \mathbb{R}^2).

Passo 2

Primeiro vamos escrever T em forma matricial usando a base canônica \{(1,0),(0,1)\}. Calculo as imagens dos vetores da base:
T(1,0)= (1+0,\;1-0) = (1,1), \qquad T(0,1)= (0+1,\;0-2) = (1,-2).
Logo a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix},
onde as colunas são T(1,0) e T(0,1).]

Passo 3

A imagem de T é o subespaço gerado pelas colunas da matriz A. Em palavras simples: todos os vetores que podem ser obtidos como combinações lineares de T(1,0) e T(0,1). Portanto
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,1),\,(1,-2)\}=\{\,\alpha(1,1)+\beta(1,-2)\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\,\}.
Aqui expliquei o que significa \operatorname{span}: é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis dos vetores dados.

Passo 4

Agora precisamos saber se esses dois vetores são linearmente independentes ou não (isso define dimensionamento e se geram todo \mathbb{R}^2). Uma forma rápida é calcular o determinante da matriz A. O determinante é
\det(A)=1\cdot(-2)-1\cdot1=-2-1=-3.
Como \det(A)=-3\neq0, as colunas de A são linearmente independentes. Isso significa que (1,1) e (1,-2) formam uma base do subespaço que geram.

Passo 5

Como temos dois vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2, o subespaço que eles geram tem dimensão 2. Em \mathbb{R}^2 um subespaço de dimensão 2 é o próprio \mathbb{R}^2. Portanto
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2,
a base que já encontramos \{(1,1),(1,-2)\} é uma base do subespaço (e, neste caso, também uma base de \mathbb{R}^2), e a dimensão é 2.

Passo 6

Sobrejetividade: T é sobrejetora se \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2. Já demonstramos isso no passo anterior, logo T é sobrejetora. Como bônus (útil na prova), podemos também exibir explicitamente, dado qualquer (u,v)\in\mathbb{R}^2, como encontrar (x,y) com T(x,y)=(u,v).
Do sistema
u = x+y,\qquad v = x-2y,
subtraindo obtemos u-v=3y, logo
y=\frac{u-v}{3}.
Então
x=u-y=u-\frac{u-v}{3}=\frac{2u+v}{3}.
Isso mostra explicitamente a preimagem de qualquer (u,v), confirmando a sobrejetividade (e também a bijetividade, pois existe inversa).

Passo 7

Resumo conceitual rápido (para decorar e usar na prova):
  • A imagem de uma transformação linear dada por matriz é o espaço gerado pelas colunas.
  • Se as colunas são linearmente independentes e há 2 colunas em \mathbb{R}^2, elas geram \mathbb{R}^2.
  • Determinante diferente de zero indica colunas independentes \Rightarrow mapa invertível \Rightarrow sobrejetor e injetor.

Resposta

\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2
Base: \{(1,1),\,(1,-2)\}
Dimensão: 2
T é sobrejetora? Sim.

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