Determinar a imagem, uma base para esse subesáço e sua dimensão, T é sobrejetora?
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
definida por
O que o problema pede:
- Determinar a imagem de
(isto é, ). - Dar uma base para esse subespaço.
- Determinar a dimensão desse subespaço.
- Responder se
é sobrejetora (isto é, se atinge todo ).
Passo 2
Primeiro vamos escrever
em forma matricial usando a base canônica
. Calculo as imagens dos vetores da base:
Logo a matriz de
na base canônica é
onde as colunas são
e
.]
Passo 3
A imagem de
é o subespaço gerado pelas colunas da matriz
. Em palavras simples: todos os vetores que podem ser obtidos como combinações lineares de
e
. Portanto
Aqui expliquei o que significa
: é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis dos vetores dados.
Passo 4
Agora precisamos saber se esses dois vetores são linearmente independentes ou não (isso define dimensionamento e se geram todo
). Uma forma rápida é calcular o determinante da matriz
. O determinante é
Como
, as colunas de
são linearmente independentes. Isso significa que
e
formam uma base do subespaço que geram.
Passo 5
Como temos dois vetores linearmente independentes em
, o subespaço que eles geram tem dimensão
. Em
um subespaço de dimensão
é o próprio
. Portanto
a base que já encontramos
é uma base do subespaço (e, neste caso, também uma base de
), e a dimensão é
.
Passo 6
Sobrejetividade:
é sobrejetora se
. Já demonstramos isso no passo anterior, logo
é sobrejetora. Como bônus (útil na prova), podemos também exibir explicitamente, dado qualquer
, como encontrar
com
.
Do sistema
subtraindo obtemos
, logo
Então
Isso mostra explicitamente a preimagem de qualquer
, confirmando a sobrejetividade (e também a bijetividade, pois existe inversa).
Passo 7
Resumo conceitual rápido (para decorar e usar na prova):
- A imagem de uma transformação linear dada por matriz é o espaço gerado pelas colunas.
- Se as colunas são linearmente independentes e há
colunas em , elas geram . - Determinante diferente de zero indica colunas independentes
mapa invertível sobrejetor e injetor.
Resposta
Base:
Dimensão: