Determinar a ordem da equação diferencial e dizer se a mesma equação é linear ou não-linear.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a ordem da equação diferencial.
- Dizer se a equação é linear ou não-linear.
A equação dada é
As informações relevantes do enunciado são exatamente os termos da equação acima.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial? Vou explicar devagar e com jeitinho: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem da derivada de
que aparece na equação. Exemplos rápidos para fixar:
Aqui a notação
significa a terceira derivada de
em relação a
.
Passo 3
Olhe a equação dada e identifique todas as derivadas presentes. Nela aparece o termo
(terceira derivada). Não aparecem derivadas de ordem maior que três. Portanto a maior ordem de derivada presente é a terceira (
).
Passo 4
Agora vou explicar como decidir se uma equação é linear ou não-linear. Uma equação diferencial é linear se puder ser escrita na forma
onde:
-
é a derivada de ordem de ; - cada
é uma função apenas de (pode ser constante ou variar com ); -
é uma função apenas de ; - crucial:
e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções de e sempre com potência (ou seja, não aparecem termos como , , produto , etc.).
Se houver qualquer termo onde
ou suas derivadas aparecem elevados a potências diferentes de
, ou multiplicando-se entre si, ou dentro de funções não lineares (como
,
, etc.), a equação é não-linear.
Passo 5
Aplicando essa definição termo a termo na equação
- O termo
é compatível com linearidade: é uma derivada de ordem com coeficiente (que é uma função de constante). - O termo
também é compatível com linearidade: é com , que depende apenas de . - No lado direito,
é uma função apenas de — OK para a forma linear como parte de . - Porém, o termo
depende de ao quadrado. Isso viola a condição de que deve aparecer apenas na potência . Ou seja, é um termo não-linear.
Passo 6
Como a presença do termo
implica que a equação não tem a forma linear padrão (porque há uma potência
de
), concluímos que a equação não é linear. Só para contraste, exemplos para gravar na cabeça:
- Exemplo linear:
(todos os coeficientes dependem só de e aparece com potência ). - Exemplo não-linear:
(tem , portanto não-linear).
Passo 7
Resumo do raciocínio que usei:
- identifiquei a maior derivada que aparece (
) para achar a ordem; - verifiquei se há termos que tornam a equação não-linear (como
); - achei que há um termo não-linear, então a equação é não-linear.
Resposta
Ordem:
Classificação: não-linear
Classificação: não-linear