Determinar a ordem da equação diferencial e dizer se a mesma equação é linear ou não-linear.
y^{\prime \prime \prime}+4 x y=y^{2}+\ln x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar a ordem da equação diferencial.
  2. Dizer se a equação é linear ou não-linear.
A equação dada é
y^{\prime\prime\prime}+4 x y=y^{2}+\ln x.
As informações relevantes do enunciado são exatamente os termos da equação acima.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial? Vou explicar devagar e com jeitinho: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem da derivada de y que aparece na equação. Exemplos rápidos para fixar:
\text{se surgisse } y',\\ \text{a ordem seria }1;
\text{se surgisse } y''',\\ \text{a ordem seria }3.
Aqui a notação y^{\prime\prime\prime} significa a terceira derivada de y em relação a x.

Passo 3

Olhe a equação dada e identifique todas as derivadas presentes. Nela aparece o termo y^{\prime\prime\prime} (terceira derivada). Não aparecem derivadas de ordem maior que três. Portanto a maior ordem de derivada presente é a terceira ( 3).

Passo 4

Agora vou explicar como decidir se uma equação é linear ou não-linear. Uma equação diferencial é linear se puder ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde:
  • y^{(k)} é a derivada de ordem k de y;
  • cada a_k(x) é uma função apenas de x (pode ser constante ou variar com x);
  • g(x) é uma função apenas de x;
  • crucial: y e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções de x e sempre com potência 1 (ou seja, não aparecem termos como y^2, \sin(y), produto y\,y', etc.).
Se houver qualquer termo onde y ou suas derivadas aparecem elevados a potências diferentes de 1, ou multiplicando-se entre si, ou dentro de funções não lineares (como \sin(y), e^{y}, etc.), a equação é não-linear.

Passo 5

Aplicando essa definição termo a termo na equação
y^{\prime\prime\prime}+4 x y=y^{2}+\ln x:
  • O termo y^{\prime\prime\prime} é compatível com linearidade: é uma derivada de ordem 3 com coeficiente 1 (que é uma função de x constante).
  • O termo 4x\,y também é compatível com linearidade: é a_0(x)\,y com a_0(x)=4x, que depende apenas de x.
  • No lado direito, \ln x é uma função apenas de x — OK para a forma linear como parte de g(x).
  • Porém, o termo y^{2} depende de y ao quadrado. Isso viola a condição de que y deve aparecer apenas na potência 1. Ou seja, y^{2} é um termo não-linear.

Passo 6

Como a presença do termo y^{2} implica que a equação não tem a forma linear padrão (porque há uma potência 2 de y), concluímos que a equação não é linear. Só para contraste, exemplos para gravar na cabeça:
  • Exemplo linear: \;y'' + \sin(x)\,y' + x^2 y = e^x\; (todos os coeficientes dependem só de x e y aparece com potência 1).
  • Exemplo não-linear: \;y'' + y^2 = 0\; (tem y^2, portanto não-linear).

Passo 7

Resumo do raciocínio que usei:
  • identifiquei a maior derivada que aparece ( y^{\prime\prime\prime}) para achar a ordem;
  • verifiquei se há termos que tornam a equação não-linear (como y^{2});
  • achei que há um termo não-linear, então a equação é não-linear.

Resposta

Ordem: 3
Classificação: não-linear

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