Determinar a ordem da equação diferencial e dizer se a mesma equação é linear ou não-linear.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar a ordem da equação diferencial e dizer se ela é linear ou não-linear. A equação dada é
Informações fornecidas: a incógnita é
(função de
), aparece a derivada primeira
, e do lado direito há a função
. Não há outras derivadas explícitas no enunciado.
Passo 2
O que é ordem de uma equação diferencial? A ordem é o maior número de derivadas de
que aparece na equação. A notação
significa
(a derivada primeira de
em relação a
). Se aparecesse
ou uma derivada de ordem maior, a ordem seria maior. Na nossa equação a maior derivada que aparece é
, portanto a ordem é
.
Passo 3
O que significa uma equação ser linear? Uma equação diferencial de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo independente
são funções que dependem só de
, e não de
nem das suas derivadas. Em palavras simples: em uma equação linear,
e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções de
(ou somadas), nunca em produtos entre si nem em funções não-lineares (como
,
,
, etc.). Exemplos rápidos:
- Linear de primeira ordem:
(aqui é linear). - Não-linear:
ou (não são lineares).
Passo 4
Aplicando o teste à equação dada: temos
Posso fatorar
no lado esquerdo:
Se eu quisesse escrever como uma forma do tipo coeficiente(x)
coeficiente(x)
algo, veria que o fator na frente de
é
, ou seja depende de
e não apenas de
. Outra forma é isolar
:
aqui o lado direito depende de
(aparece
), mostrando claramente que a equação envolve
de forma não-linear. Portanto a equação não pode ser escrita na forma linear com coeficientes só em função de
. Conclusão: a equação é não-linear.
Passo 5
Recapitulando de forma curta e direta: a maior derivada presente é
(primeira derivada), então a ordem é
. Como aparece o produto
(ou equivalentemente um termo
ao isolar), a equação não é linear — os coeficientes não são funções apenas de
.
Resposta
Ordem:
Não-linear
Não-linear