Determinar a ordem da equação diferencial e dizer se a mesma equação é linear ou não-linear.
y y^{\prime}+2 y=1+x^{10}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar a ordem da equação diferencial e dizer se ela é linear ou não-linear. A equação dada é
y\,y^{\prime} + 2y = 1 + x^{10}.
Informações fornecidas: a incógnita é y (função de x), aparece a derivada primeira y^{\prime}, e do lado direito há a função 1+x^{10}. Não há outras derivadas explícitas no enunciado.

Passo 2

O que é ordem de uma equação diferencial? A ordem é o maior número de derivadas de y que aparece na equação. A notação y^{\prime} significa \dfrac{dy}{dx} (a derivada primeira de y em relação a x). Se aparecesse y^{\prime\prime} ou uma derivada de ordem maior, a ordem seria maior. Na nossa equação a maior derivada que aparece é y^{\prime}, portanto a ordem é \;1.

Passo 3

O que significa uma equação ser linear? Uma equação diferencial de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y^{\prime} + a_0(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_k(x) e o termo independente g(x) são funções que dependem só de x, e não de y nem das suas derivadas. Em palavras simples: em uma equação linear, y e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções de x (ou somadas), nunca em produtos entre si nem em funções não-lineares (como y^2, \sin(y), y\,y', etc.). Exemplos rápidos:
  • Linear de primeira ordem: \;y' + p(x)\,y = q(x)\; (aqui é linear).
  • Não-linear: \;y\,y' = x\; ou \;y^2 + y' = 0\; (não são lineares).

Passo 4

Aplicando o teste à equação dada: temos
y\,y^{\prime} + 2y = 1 + x^{10}.
Posso fatorar y no lado esquerdo:
y\,(y^{\prime} + 2) = 1 + x^{10}.
Se eu quisesse escrever como uma forma do tipo coeficiente(x) \cdot y^{\prime} + coeficiente(x) \cdot y = algo, veria que o fator na frente de y^{\prime} é y, ou seja depende de y e não apenas de x. Outra forma é isolar y^{\prime}:
y^{\prime} + 2 = \frac{1+x^{10}}{y},
aqui o lado direito depende de y (aparece 1/y), mostrando claramente que a equação envolve y de forma não-linear. Portanto a equação não pode ser escrita na forma linear com coeficientes só em função de x. Conclusão: a equação é não-linear.

Passo 5

Recapitulando de forma curta e direta: a maior derivada presente é y^{\prime} (primeira derivada), então a ordem é \;1. Como aparece o produto y\,y^{\prime} (ou equivalentemente um termo 1/y ao isolar), a equação não é linear — os coeficientes não são funções apenas de x.

Resposta

Ordem: 1
Não-linear

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