Determinar a ordem da equação diferencial e dizer se a mesma equação é linear ou não-linear.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar (1) a ordem da equação diferencial e (2) se ela é linear ou não-linear. A equação dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado: aparece a função desconhecida
dependente de
, aparece a primeira derivada
e aparece um termo exponencial que envolve
e
, isto é,
.
Passo 2
Definição e identificação da ordem de uma EDO (aula rápida): a ordem de uma equação diferencial ordinária é o maior ordem de derivada que aparece na equação. Exemplos para fixar:
tem ordem
porque aparece
;
tem ordem
porque a maior derivada é
. Na nossa equação a maior derivada presente é
(aparece apenas a primeira derivada), portanto a ordem é
.
Passo 3
O que significa ser uma equação linear (aula rápida e intuitiva): uma EDO de primeira ordem é linear se puder ser escrita na forma
onde
e
são funções que dependem somente da variável independente
, e o
aparece apenas ao primeiro grau (sem potências, produtos entre
e
, nem funções não-lineares de
como
,
,
, etc.). Exemplos para comparar:
é linear;
e
são não-lineares.
Passo 4
Análise da linearidade da equação dada: primeiro simplifico o lado esquerdo,
então a equação fica
Dividindo por
,
Aqui o membro direito depende de
através de
(pois
), isto é, é uma função não-linear de
. Não é possível rearranjar essa equação na forma
com
e
dependendo apenas de
, porque o termo que envolve
aparece dentro de uma função exponencial. Portanto a equação é não-linear.
Resposta
Ordem:
Tipo: não-linear
Tipo: não-linear