Determinar a ordem da equação diferencial e dizer se a mesma equação é linear ou não-linear.
y^{\prime}+y^{\prime}=\mathrm{e}^{(y-t)}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar (1) a ordem da equação diferencial e (2) se ela é linear ou não-linear. A equação dada é
y' + y' = e^{(y - t)}.
Informações relevantes extraídas do enunciado: aparece a função desconhecida y dependente de t, aparece a primeira derivada y' e aparece um termo exponencial que envolve y e t, isto é, e^{(y-t)}.

Passo 2

Definição e identificação da ordem de uma EDO (aula rápida): a ordem de uma equação diferencial ordinária é o maior ordem de derivada que aparece na equação. Exemplos para fixar: \,y''+y=0 tem ordem 2 porque aparece y''; \,y'=y^2 tem ordem 1 porque a maior derivada é y'. Na nossa equação a maior derivada presente é y' (aparece apenas a primeira derivada), portanto a ordem é 1.

Passo 3

O que significa ser uma equação linear (aula rápida e intuitiva): uma EDO de primeira ordem é linear se puder ser escrita na forma
y' + p(t)\,y = q(t),
onde p(t) e q(t) são funções que dependem somente da variável independente t, e o y aparece apenas ao primeiro grau (sem potências, produtos entre y e y', nem funções não-lineares de y como e^y, \sin y, y^2, etc.). Exemplos para comparar: \,y' + 3t\,y = \sin t é linear; \,y' = y^2 e \,y' = e^{y} são não-lineares.

Passo 4

Análise da linearidade da equação dada: primeiro simplifico o lado esquerdo,
y' + y' = 2y',
então a equação fica
2y' = e^{(y-t)}.
Dividindo por 2,
y' = \tfrac{1}{2}\,e^{(y-t)}.
Aqui o membro direito depende de y através de e^{y} (pois e^{(y-t)}=e^{y}e^{-t}), isto é, é uma função não-linear de y. Não é possível rearranjar essa equação na forma y' + p(t)\,y = q(t) com p e q dependendo apenas de t, porque o termo que envolve y aparece dentro de uma função exponencial. Portanto a equação é não-linear.

Resposta

Ordem: 1
Tipo: não-linear

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