Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da equação diferencial dada.
e
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e as duas funções
A tarefa: verificar se cada uma dessas funções constitui solução da equação, ou seja, para cada
devemos calcular
e ver se o resultado é
.
Passo 2
Entendendo o que fazer (passo didático): uma função
é solução da equação diferencial se, ao calcular suas derivadas de primeira e segunda ordem e substituir na expressão
, obtemos zero identicamente (para todo
do domínio). Antes de calcular, lembro uma regra básica sobre exponenciais: a derivada de
em relação a
é
. No caso de
ou
isso simplifica bastante.
Agora calculo para
.
Passo 3
Derivadas de
:
Substituindo em
:
Conclusão:
satisfaz a equação diferencial, logo é solução.
Passo 4
Agora calculo para
.
Derivadas de
:
Substituindo em
:
Conclusão:
também satisfaz a equação diferencial, logo é solução.
Passo 5
Observação útil para a prova (didática e prática): a equação é linear e homogênea; isso significa que qualquer combinação linear das soluções também é solução (princípio da superposição). Se
com constantes
, então
portanto
. Assim a combinação linear acima é uma família de soluções — na verdade a solução geral da equação é
com
constantes reais.