Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}-y=0 ; y_{1}(t)=\mathrm{e}^{t} e y_{2}(t)=\mathrm{e}^{-t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''-y=0
e as duas funções
y_{1}(t)=\mathrm{e}^{t}\quad\text{e}\quad y_{2}(t)=\mathrm{e}^{-t}.
A tarefa: verificar se cada uma dessas funções constitui solução da equação, ou seja, para cada y_i devemos calcular y_i''-y_i e ver se o resultado é 0.

Passo 2

Entendendo o que fazer (passo didático): uma função y(t) é solução da equação diferencial se, ao calcular suas derivadas de primeira e segunda ordem e substituir na expressão y''-y, obtemos zero identicamente (para todo t do domínio). Antes de calcular, lembro uma regra básica sobre exponenciais: a derivada de \mathrm{e}^{a t} em relação a t é a\mathrm{e}^{a t}. No caso de a=1 ou a=-1 isso simplifica bastante.
Agora calculo para y_{1}(t)=\mathrm{e}^{t}.

Passo 3

Derivadas de y_{1}:
y_{1}'(t)=\frac{d}{dt}\mathrm{e}^{t}=\mathrm{e}^{t},
y_{1}''(t)=\frac{d}{dt}y_{1}'(t)=\frac{d}{dt}\mathrm{e}^{t}=\mathrm{e}^{t}.
Substituindo em \;y''-y\;:
y_{1}''(t)-y_{1}(t)=\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{t}=0.
Conclusão: y_{1}(t)=\mathrm{e}^{t} satisfaz a equação diferencial, logo é solução.

Passo 4

Agora calculo para y_{2}(t)=\mathrm{e}^{-t}.
Derivadas de y_{2}:
y_{2}'(t)=\frac{d}{dt}\mathrm{e}^{-t}=-\mathrm{e}^{-t},
y_{2}''(t)=\frac{d}{dt}y_{2}'(t)=\frac{d}{dt}\big(-\mathrm{e}^{-t}\big)=-(-1)\mathrm{e}^{-t}=\mathrm{e}^{-t}.
Substituindo em \;y''-y\;:
y_{2}''(t)-y_{2}(t)=\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-t}=0.
Conclusão: y_{2}(t)=\mathrm{e}^{-t} também satisfaz a equação diferencial, logo é solução.

Passo 5

Observação útil para a prova (didática e prática): a equação é linear e homogênea; isso significa que qualquer combinação linear das soluções também é solução (princípio da superposição). Se y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}=c_{1}\mathrm{e}^{t}+c_{2}\mathrm{e}^{-t} com constantes c_{1},c_{2}, então
y''=c_{1}\mathrm{e}^{t}+c_{2}\mathrm{e}^{-t}=y,
portanto y''-y=0. Assim a combinação linear acima é uma família de soluções — na verdade a solução geral da equação é
y(t)=c_{1}\mathrm{e}^{t}+c_{2}\mathrm{e}^{-t},
com c_{1},c_{2} constantes reais.

Resposta

y_{1}(t)=\mathrm{e}^{t}: é solução.
y_{2}(t)=\mathrm{e}^{-t}: é solução.

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