Determinar o período e a imagem e esboçar o gráfico de um período completo das funções:
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
dada:
- Determinar o período de
. - Determinar a imagem (o conjunto-valor, ou range) de
. - Esboçar o gráfico de um período completo de
.
Informações fornecidas:
- A função é
(ou seja, é a cotangente aplicada ao argumento ).
Passo 2
Entender a cotangente básica e suas propriedades que vamos usar (aula rápida e prática).
- Definição:
. - Domínio da cotangente: todos os
tais que . Isso porque dividir por zero não vale. - Assimetrias verticais (assíntotas verticais) de
: ocorrem quando , ou seja em com . - Período da cotangente:
. Ou seja, para todo no domínio. - Imagem (range) da cotangente:
(todos os números reais). Justificação intuitiva: entre duas assíntotas consecutivas a cotangente varia continuamente de a , portanto atinge todos os valores reais.
Passo 3
Efeito da substituição
(deslocamento horizontal).
- Se tivermos
e definimos , isso corresponde a deslocar o gráfico de para a direita por unidades (horizontalmente). - O período não muda com deslocamento horizontal: se
tem período , então também tem período .
Aplicando ao nosso caso: - A cotangente base tem período
. Logo
Passo 4
Determinar o domínio e as assíntotas verticais de
.
- Assíntotas de
em . - Aqui
. Logo as assíntotas ocorrem quando
- Portanto o domínio de
é
Passo 5
Determinar a imagem (range) de
com explicação didática.
- Como já visto para
, em cada intervalo entre assíntotas a função vai de a de forma contínua. - O deslocamento horizontal não altera esse comportamento: em cada intervalo entre duas assíntotas consecutivas
a função varia de a . - Conclusão:
Passo 6
Escolher um período completo e localizar assíntotas e zero dentro dele (para esboçar o gráfico).
- Um período completo pode ser qualquer intervalo de comprimento
que não corte uma assíntota no interior; uma escolha natural é entre duas assíntotas consecutivas:
- Nessa abertura, as assíntotas estão em
(à esquerda) e em (à direita). - O ponto onde
se anula (zero) ocorre quando o numerador , isto é
Dentro do período escolhido (com
) temos o zero em
(que está entre
e
).
Passo 7
Comportamento e pontos notáveis dentro do período (valores para desenhar).
- Comportamento: em cada intervalo entre assíntotas a cotangente é estritamente decrescente (uma forma simples de ver isso é lembrar que
onde definida; portanto decresce de à esquerda até à direita). - Para
isso quer dizer: em decresce de próximo a até próximo a . - Alguns valores fáceis para marcar no esboço:
- Em
temos , então
- Em
(que está no intervalo), temos , portanto
- Em
(também no intervalo), temos , então
- Em
- Esses pontos mostram bem a forma: alto positivo próximo a
, passa por em , cruza zero em , toma valor negativo em e vai para ao aproximar .
Passo 8
Instruções para esboçar o gráfico de um período completo (passo-a-passo para desenhar na prova sem calculadora).
- Desenhe os eixos
e . - Marque e trace linhas verticais pontilhadas (assíntotas) em
e . - Marque os pontos notáveis:
-
com (ponto acima do eixo ); -
com (cruzamento com o eixo ); -
com (ponto abaixo do eixo ).
-
- Ligue os pontos com uma curva contínua que:
- tende a
ao aproximar de pela direita; - decresce continuamente atravessando os pontos marcados;
- tende a
ao aproximar de pela esquerda.
- tende a
- Opcional: repita o padrão deslocando-o em
para obter períodos adjacentes.
Visual mental: dentro de
a curva sai de
, passa por
, cruza o eixo em
, continua negativa e vai a
em
.
Resposta
Período:
Imagem:
Imagem: