Determinar o período e a imagem e esboçar o gráfico de um período completo das funções:
f(x)=\operatorname{cotg}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função f dada:
  • Determinar o período de f(x)=\operatorname{cotg}\!\left(x-\frac{\pi}{3}\right).
  • Determinar a imagem (o conjunto-valor, ou range) de f.
  • Esboçar o gráfico de um período completo de f.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\operatorname{cotg}\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) (ou seja, é a cotangente aplicada ao argumento x-\dfrac{\pi}{3}).

Passo 2

Entender a cotangente básica e suas propriedades que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Definição: \operatorname{cotg} t=\dfrac{\cos t}{\sin t}.
  • Domínio da cotangente: todos os t tais que \sin t\neq0. Isso porque dividir por zero não vale.
  • Assimetrias verticais (assíntotas verticais) de \operatorname{cotg} t: ocorrem quando \sin t=0, ou seja em t=k\pi com k\in\mathbb{Z}.
  • Período da cotangente: \pi. Ou seja, \operatorname{cotg}(t+\pi)=\operatorname{cotg} t para todo t no domínio.
  • Imagem (range) da cotangente: \mathbb{R} (todos os números reais). Justificação intuitiva: entre duas assíntotas consecutivas (k\pi,(k+1)\pi) a cotangente varia continuamente de +\infty a -\infty, portanto atinge todos os valores reais.

Passo 3

Efeito da substituição t=x-\dfrac{\pi}{3} (deslocamento horizontal).
  • Se tivermos g(x)=\operatorname{cotg}(x) e definimos f(x)=g(x-a), isso corresponde a deslocar o gráfico de g para a direita por a unidades (horizontalmente).
  • O período não muda com deslocamento horizontal: se g tem período \pi, então g(x-a) também tem período \pi.
    Aplicando ao nosso caso:
  • A cotangente base tem período \pi. Logo
\text{período de }f=\pi.í

Passo 4

Determinar o domínio e as assíntotas verticais de f.
  • Assíntotas de \operatorname{cotg} t em t=k\pi.
  • Aqui t=x-\dfrac{\pi}{3}. Logo as assíntotas ocorrem quando
x-\frac{\pi}{3}=k\pi \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Portanto o domínio de f é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq \frac{\pi}{3}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\}.

Passo 5

Determinar a imagem (range) de f com explicação didática.
  • Como já visto para \operatorname{cotg} t, em cada intervalo entre assíntotas (k\pi,(k+1)\pi) a função vai de +\infty a -\infty de forma contínua.
  • O deslocamento horizontal não altera esse comportamento: em cada intervalo entre duas assíntotas consecutivas \big(\tfrac{\pi}{3}+k\pi,\tfrac{\pi}{3}+(k+1)\pi\big) a função f varia de +\infty a -\infty.
  • Conclusão:
\text{imagem de }f=\mathbb{R}.

Passo 6

Escolher um período completo e localizar assíntotas e zero dentro dele (para esboçar o gráfico).
  • Um período completo pode ser qualquer intervalo de comprimento \pi que não corte uma assíntota no interior; uma escolha natural é entre duas assíntotas consecutivas:
\left(\frac{\pi}{3},\\ \frac{\pi}{3}+\pi\right)=\left(\frac{\pi}{3},\\ \frac{4\pi}{3}\right).
  • Nessa abertura, as assíntotas estão em x=\dfrac{\pi}{3} (à esquerda) e em x=\dfrac{4\pi}{3} (à direita).
  • O ponto onde f se anula (zero) ocorre quando o numerador \cos(x-\tfrac{\pi}{3})=0, isto é
x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}+k\pi=\frac{5\pi}{6}+k\pi.
Dentro do período escolhido (com k=0) temos o zero em x=\dfrac{5\pi}{6} (que está entre \dfrac{\pi}{3} e \dfrac{4\pi}{3}).

Passo 7

Comportamento e pontos notáveis dentro do período (valores para desenhar).
  • Comportamento: em cada intervalo entre assíntotas a cotangente é estritamente decrescente (uma forma simples de ver isso é lembrar que \dfrac{d}{dt}\cot t=-\csc^2 t<0 onde definida; portanto decresce de +\infty à esquerda até -\infty à direita).
  • Para f(x)=\operatorname{cotg}\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) isso quer dizer: em \left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}\right) f decresce de +\infty próximo a x=\dfrac{\pi}{3}^+ até -\infty próximo a x=\dfrac{4\pi}{3}^-.
  • Alguns valores fáceis para marcar no esboço:
    • Em x=\dfrac{5\pi}{6} temos x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}, então
    f\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\operatorname{cotg}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
    • Em x=\dfrac{\pi}{2} (que está no intervalo), temos x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}, portanto
    f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{cotg}\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}.
    • Em x=\pi (também no intervalo), temos x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}, então
    f(\pi)=\operatorname{cotg}\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.
  • Esses pontos mostram bem a forma: alto positivo próximo a \dfrac{\pi}{3}, passa por \sqrt{3} em x=\dfrac{\pi}{2}, cruza zero em x=\dfrac{5\pi}{6}, toma valor negativo em x=\pi e vai para -\infty ao aproximar \dfrac{4\pi}{3}.

Passo 8

Instruções para esboçar o gráfico de um período completo (passo-a-passo para desenhar na prova sem calculadora).
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque e trace linhas verticais pontilhadas (assíntotas) em x=\dfrac{\pi}{3} e x=\dfrac{4\pi}{3}.
  3. Marque os pontos notáveis:
    • x=\dfrac{\pi}{2} com f=\sqrt{3} (ponto acima do eixo x);
    • x=\dfrac{5\pi}{6} com f=0 (cruzamento com o eixo x);
    • x=\pi com f=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} (ponto abaixo do eixo x).
  4. Ligue os pontos com uma curva contínua que:
    • tende a +\infty ao aproximar x de \dfrac{\pi}{3} pela direita;
    • decresce continuamente atravessando os pontos marcados;
    • tende a -\infty ao aproximar x de \dfrac{4\pi}{3} pela esquerda.
  5. Opcional: repita o padrão deslocando-o em \pi para obter períodos adjacentes.
Visual mental: dentro de \left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3}\right) a curva sai de +\infty, passa por \left(\dfrac{\pi}{2},\sqrt{3}\right), cruza o eixo em \left(\dfrac{5\pi}{6},0\right), continua negativa e vai a -\infty em x=\dfrac{4\pi}{3}.

Resposta

Período: \pi
Imagem: \mathbb{R}

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