Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade trigonométrica
Informações dadas / pressupostos:
-
é um ângulo arbitrário (qualquer número real). - As funções
e são as funções trigonométricas seno e cosseno, com seus valores usuais. - A tarefa é provar algebraicamente a igualdade acima, partindo de identidades trigonométricas básicas que podemos justificar.
Passo 2
Vamos usar uma identidade de soma de ângulos. Primeiro apresento (e justifico) as fórmulas de soma:
Explicação didática de onde vem essas fórmulas (uma demonstração simples e intuitiva):
- Considere a matriz de rotação no plano que gira vetores em torno da origem por um ângulo
:
- Essa matriz realmente representa uma rotação porque, ao aplicá-la ao vetor
, obtemos
que são as coordenadas do ponto do círculo unitário no ângulo
.
- Dois giros sucessivos, um por
e depois por , é o mesmo que um giro por . Em notação de matrizes:
Multiplicando explicitamente
e comparando com
obtemos as fórmulas de soma acima. A passo a passo do produto aparece no próximo passo.]
Passo 3
Calculemos o produto
explicitamente:
Como
, e lembrando que
podemos igualar as entradas correspondentes da matriz resultante. A igualdade das entradas abaixo da diagonal dá exatamente
que é a fórmula de soma para o seno. (A igualdade da entrada superior esquerda fornece a fórmula de soma para o cosseno; ambas são coerentes.)]
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de soma com
para obter a fórmula do ângulo duplo:
Como os dois termos do lado direito são iguais, somando-os obtemos
Pronto — prova completa da identidade pedida.
Passo 5
Pequena checagem numérica (para dar confiança): tome
(ou
rad). Sabendo
e
,
que é exatamente
. Show de bola — funciona.