Mostre que:
\operatorname{sen}(2 a)=2 \cdot \operatorname{sen} a \cdot \cos a

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}(2a)=2\cdot\operatorname{sen}a\cdot\cos a.
Informações dadas / pressupostos:
  • a é um ângulo arbitrário (qualquer número real).
  • As funções \operatorname{sen} e \cos são as funções trigonométricas seno e cosseno, com seus valores usuais.
  • A tarefa é provar algebraicamente a igualdade acima, partindo de identidades trigonométricas básicas que podemos justificar.

Passo 2

Vamos usar uma identidade de soma de ângulos. Primeiro apresento (e justifico) as fórmulas de soma:
\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\cos a\operatorname{sen}b, \qquad \cos(a+b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b.
Explicação didática de onde vem essas fórmulas (uma demonstração simples e intuitiva):
  • Considere a matriz de rotação no plano que gira vetores em torno da origem por um ângulo \theta:
R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\operatorname{sen}\theta\\[4pt] \operatorname{sen}\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
  • Essa matriz realmente representa uma rotação porque, ao aplicá-la ao vetor \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}, obtemos
R(\theta)\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta\\[4pt]\operatorname{sen}\theta\end{pmatrix},
que são as coordenadas do ponto do círculo unitário no ângulo \theta.
  • Dois giros sucessivos, um por b e depois por a, é o mesmo que um giro por a+b. Em notação de matrizes:
R(a)R(b)=R(a+b).
Multiplicando explicitamente R(a)R(b) e comparando com R(a+b) obtemos as fórmulas de soma acima. A passo a passo do produto aparece no próximo passo.]

Passo 3

Calculemos o produto R(a)R(b) explicitamente:
\begin{pmatrix} \cos a & -\operatorname{sen} a\\[4pt] \operatorname{sen} a & \cos a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos b & -\operatorname{sen} b\\[4pt] \operatorname{sen} b & \cos b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos a\cos b - \operatorname{sen}a\operatorname{sen}b & -\big(\cos a\operatorname{sen}b + \operatorname{sen}a\cos b\big)\\[6pt] \operatorname{sen}a\cos b + \cos a\operatorname{sen}b & \cos a\cos b - \operatorname{sen}a\operatorname{sen}b \end{pmatrix}.
Como R(a)R(b)=R(a+b), e lembrando que
R(a+b)=\begin{pmatrix} \cos(a+b) & -\operatorname{sen}(a+b)\\[4pt] \operatorname{sen}(a+b) & \cos(a+b) \end{pmatrix},
podemos igualar as entradas correspondentes da matriz resultante. A igualdade das entradas abaixo da diagonal dá exatamente
\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\cos a\operatorname{sen}b,
que é a fórmula de soma para o seno. (A igualdade da entrada superior esquerda fornece a fórmula de soma para o cosseno; ambas são coerentes.)]

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de soma com b=a para obter a fórmula do ângulo duplo:
\operatorname{sen}(2a)=\operatorname{sen}(a+a)=\operatorname{sen}a\cos a+\cos a\operatorname{sen}a.
Como os dois termos do lado direito são iguais, somando-os obtemos
\operatorname{sen}(2a)=2\cdot\operatorname{sen}a\cdot\cos a.
Pronto — prova completa da identidade pedida.

Passo 5

Pequena checagem numérica (para dar confiança): tome a=30^\circ (ou a=\tfrac{\pi}{6} rad). Sabendo \operatorname{sen}30^\circ=\tfrac{1}{2} e \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2},
2\cdot\operatorname{sen}30^\circ\cdot\cos30^\circ =2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{\sqrt{3}}{2},
que é exatamente \operatorname{sen}60^\circ=\operatorname{sen}(2\cdot30^\circ). Show de bola — funciona.

Resposta

\operatorname{sen}(2a)=2\cdot\operatorname{sen}a\cdot\cos a

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