Mostre que:
Passo 1
O que o enunciado pede: provar a identidade trigonométrica
Informações dadas e o que podemos assumir:
é um ângulo qualquer (número real). Não há mais dados; a tarefa é mostrar que essa igualdade vale para todo
.
Passo 2
Vamos começar lembrando e provando uma fórmula fundamental: a fórmula do cosseno da soma de dois ângulos. Para isso, considere dois vetores unitários no plano que formam ângulos
e
com o eixo
. Seus componentes são
Explico: um ponto no círculo unitário com ângulo
tem coordenadas
. Colocar esses pontos como vetores facilita usar produto escalar.
Passo 3
Agora uso a definição-algébrica do produto escalar (dot product) entre
e
:
Explico o significado geométrico: para vetores unitários, o produto escalar é igual ao cosseno do ângulo entre eles. O ângulo entre
e
é
(assumindo medição no mesmo sentido). Portanto
Juntando as duas expressões para
obtemos a identidade
Isto é uma conhecida fórmula do cosseno da diferença.
Passo 4
Agora vamos transformar a fórmula da diferença na fórmula da soma. Substitua
por
na identidade anterior. Antes disto, lembro duas propriedades de paridade das funções trigonométricas:
Aplicando
em
dá
Usando as propriedades de paridade isso vira
Portanto a fórmula do cosseno da soma é
Passo 5
Finalmente, para obter a identidade pedida, escolha
na fórmula da soma:
Isso simplifica para
que é exatamente o que se pedia provar.
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para consolidar (só para verificar na prática): tome
. Então
. Do lado direito,
confirmação numérica de que a identidade funciona. Boa! Você já pode usar essa identidade na prova para transformar potências em cossenos duplos ou vice-versa — é uma ferramenta muito útil.