Mostre que:
\cos (2 a)=\cos ^{2} a-\operatorname{sen}^{2} a

Passo 1

O que o enunciado pede: provar a identidade trigonométrica
\cos(2a)=\cos^{2}a-\operatorname{sen}^{2}a.
Informações dadas e o que podemos assumir: a é um ângulo qualquer (número real). Não há mais dados; a tarefa é mostrar que essa igualdade vale para todo a.

Passo 2

Vamos começar lembrando e provando uma fórmula fundamental: a fórmula do cosseno da soma de dois ângulos. Para isso, considere dois vetores unitários no plano que formam ângulos a e b com o eixo x. Seus componentes são
u=(\cos a,\;\operatorname{sen} a),\qquad v=(\cos b,\;\operatorname{sen} b).
Explico: um ponto no círculo unitário com ângulo a tem coordenadas (\cos a,\operatorname{sen} a). Colocar esses pontos como vetores facilita usar produto escalar.

Passo 3

Agora uso a definição-algébrica do produto escalar (dot product) entre u e v:
u\cdot v = \cos a\cdot\cos b + \operatorname{sen} a\cdot\operatorname{sen} b.
Explico o significado geométrico: para vetores unitários, o produto escalar é igual ao cosseno do ângulo entre eles. O ângulo entre u e v é a-b (assumindo medição no mesmo sentido). Portanto
u\cdot v = \cos(a-b).
Juntando as duas expressões para u\cdot v obtemos a identidade
\cos(a-b)=\cos a\cos b + \operatorname{sen} a\,\operatorname{sen} b.
Isto é uma conhecida fórmula do cosseno da diferença.

Passo 4

Agora vamos transformar a fórmula da diferença na fórmula da soma. Substitua b por -b na identidade anterior. Antes disto, lembro duas propriedades de paridade das funções trigonométricas:
\cos(-b)=\cos b,\qquad \operatorname{sen}(-b)=-\operatorname{sen} b.
Aplicando b\mapsto -b em \cos(a-b)=\cos a\cos b + \operatorname{sen} a\,\operatorname{sen} b
\cos(a-(-b))=\cos a\cos(-b) + \operatorname{sen} a\,\operatorname{sen}(-b).
Usando as propriedades de paridade isso vira
\cos(a+b)=\cos a\cos b - \operatorname{sen} a\,\operatorname{sen} b.
Portanto a fórmula do cosseno da soma é
\cos(a+b)=\cos a\cos b - \operatorname{sen} a\,\operatorname{sen} b.

Passo 5

Finalmente, para obter a identidade pedida, escolha b=a na fórmula da soma:
\cos(2a)=\cos(a+a)=\cos a\cos a - \operatorname{sen} a\,\operatorname{sen} a.
Isso simplifica para
\cos(2a)=\cos^{2}a-\operatorname{sen}^{2}a,
que é exatamente o que se pedia provar.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para consolidar (só para verificar na prática): tome a=30^\circ. Então \cos(2a)=\cos(60^\circ)=\tfrac{1}{2}. Do lado direito,
\cos^{2}30^\circ-\operatorname{sen}^{2}30^\circ=\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{3}{4}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2},
confirmação numérica de que a identidade funciona. Boa! Você já pode usar essa identidade na prova para transformar potências em cossenos duplos ou vice-versa — é uma ferramenta muito útil.

Resposta

\displaystyle \cos(2a)=\cos^{2}a-\operatorname{sen}^{2}a

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