Para medir o tempo de percurso de um objeto sobre um trilho de ar, foi empregado um cronômetro digital até centésimos de segundo. O manual do fabricante informa que o máximo erro do instrumento é de 0,5 \% do valor médio mais 0,01 \mathrm{~s}. As medidas realizadas encontram-se na tabela. Pede-se:
a) Calcule o desvio padrão o erro estatístico.
b) Calcule a incerteza e o valor mais provável da medida, escrevendo-a sob a forma de intervalo.
i 01 02 03 04 05 06 07
\mathrm{t}_{\mathrm{i}}(\mathrm{s}) 7,84 7,83 7,86 7,83 7,85 7,86 7,84

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei estes números da tabela):
  • Perguntas:
    • (a) Calcular o desvio padrão e o erro estatístico.
    • (b) Calcular a incerteza (incerteza combinada) e o valor mais provável da medida, apresentando o resultado na forma de intervalo.
  • Medidas fornecidas (sete repetições):
    t_1=7{,}84,\quad t_2=7{,}83,\quad t_3=7{,}86,\quad t_4=7{,}83,\quad t_5=7{,}85,\quad t_6=7{,}86,\quad t_7=7{,}84
  • Informação do instrumento (do manual):
    \text{o erro máximo} = 0{,}5\% \text{ do valor médio} + 0{,}01\\ \text{s}.áé
Observação: vou calcular a média aritmética como melhor estimativa (valor mais provável), o desvio padrão amostral s (para caracterizar a dispersão das medições) e o erro estatístico (erro padrão da média). Para a incerteza do instrumento a partir do erro máximo do manual vou assumir uma distribuição uniforme (retangular) para converter o erro máximo em uma incerteza tipo B dividindo por \sqrt{3}. Em seguida combino incerteza tipo A (erro padrão da média) e tipo B por soma quadrática para obter a incerteza combinada.

Passo 2

Calcular a média aritmética (valor mais provável) \bar{t}.
Fórmula da média:
\bar{t}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} t_i.
Aqui n=7. Soma dos valores:
\sum_{i=1}^{7} t_i = 7{,}84+7{,}83+7{,}86+7{,}83+7{,}85+7{,}86+7{,}84 = 54{,}91.
Logo a média é
\bar{t}=\frac{54{,}91}{7}=7{,}8442857\ldots \approx 7{,}844\\ \text{s}.

Passo 3

Calcular o desvio padrão amostral s (medida da dispersão das observações).
Fórmula do desvio padrão amostral:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(t_i-\bar{t}\bigr)^2}.
Vou calcular cada diferença ao quadrado (mostro os valores arredondados convenientemente):
\begin{aligned} (t_1-\bar{t})^2 &= (7{,}84-7{,}8442857)^2 = (-0{,}0042857)^2 \approx 0{,}000018367,\\\ (t_2-\bar{t})^2 &= (7{,}83-7{,}8442857)^2 = (-0{,}0142857)^2 \approx 0{,}000204082,\\\ (t_3-\bar{t})^2 &= (7{,}86-7{,}8442857)^2 = (0{,}0157143)^2 \approx 0{,}000246939,\\\ (t_4-\bar{t})^2 &\approx 0{,}000204082\quad (\text{igual ao }t_2),\\\ (t_5-\bar{t})^2 &= (7{,}85-7{,}8442857)^2 = (0{,}0057143)^2 \approx 0{,}000032653,\\\ (t_6-\bar{t})^2 &\approx 0{,}000246939\quad (\text{igual ao }t_3),\\\ (t_7-\bar{t})^2 &\approx 0{,}000018367\quad (\text{igual ao }t_1). \end{aligned}
Soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{7}(t_i-\bar{t})^2 \approx 0{,}000971428.
Variância amostral:
s^2=\frac{0{,}000971428}{7-1}=\frac{0{,}000971428}{6}\approx 0{,}0001619047.
Portanto o desvio padrão amostral é
s=\sqrt{0{,}0001619047}\approx 0{,}012725\\ \text{s}.
Explicação curta: usamos n-1 no denominador porque estamos estimando a variância da população a partir de uma amostra (correção de Bessel).

Passo 4

Calcular o erro estatístico (erro padrão da média), que é a incerteza tipo A.
Fórmula do erro padrão da média:
u_A=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Com s\approx 0{,}012725 e n=7:
u_A=\frac{0{,}012725}{\sqrt{7}}=\frac{0{,}012725}{2{,}6457513}\approx 0{,}004811\\ \text{s}.
Interpretação: u_A representa a incerteza estatística associada à média calculada a partir das medições repetidas.

Passo 5

Converter o erro máximo do instrumento em incerteza tipo B.
O manual dá o erro máximo:
e_{\max}=0{,}5\%\\ \text{do valor médio} + 0{,}01\\ \text{s}.é
Em fórmula (lembrando que 0{,}5\%=0{,}005):
e_{\max}=0{,}005\cdot\bar{t}+0{,}01.
Substituindo \bar{t}\approx 7{,}8442857:
e_{\max}=0{,}005\cdot 7{,}8442857 + 0{,}01 \approx 0{,}0392214 + 0{,}01 = 0{,}0492214\\ \text{s}.
Assumindo distribuição retangular (o fabricante dá um limite máximo sem afirmar distribuição), a incerteza tipo B é
u_B=\frac{e_{\max}}{\sqrt{3}}=\frac{0{,}0492214}{\sqrt{3}}\approx \frac{0{,}0492214}{1{,}7320508}\approx 0{,}028419\\ \text{s}.
Breve justificativa: dividir por \sqrt{3} é a conversão padrão de um semi-intervalo máximo (distribuição uniforme) para desvio padrão equivalente.

Passo 6

Combinar as incertezas tipo A e tipo B para obter a incerteza combinada padrão u_c.
Soma quadrática (incertezas independentes):
u_c=\sqrt{u_A^2+u_B^2}.
Substituindo os valores:
u_c=\sqrt{(0{,}004811)^2+(0{,}028419)^2} \approx \sqrt{0{,}00002315 + 0{,}0008075} \approx \sqrt{0{,}00083065} \approx 0{,}028814\\ \text{s}.
Observação: a incerteza do instrumento (tipo B) domina aqui; o erro estatístico é relativamente pequeno.

Passo 7

Construir o intervalo da medida com incerteza combinada (nível de confiança aproximado de 68\%, correspondendo a k=1).
Valor mais provável: \bar{t}\approx 7{,}844\\ \text{s}.
Incerteza combinada (k=1): u_c\approx 0{,}0288\\ \text{s} (arredondando a dois algarismos significativos na incerteza).
Intervalo:
\bar{t}\pm u_c = 7{,}844\\ \text{s} \pm 0{,}0288\\ \text{s}.
Limites do intervalo:
7{,}844 - 0{,}0288 \approx 7{,}815\\ \text{s},\qquad 7{,}844 + 0{,}0288 \approx 7{,}873\\ \text{s}.
Se quiser uma cobertura mais prudente (aprox. 95\%) usa-se k=2: U_{95\%}\approx 2\cdot 0{,}0288\approx 0{,}0576\\ \text{s}, mas o enunciado não pediu fator de cobertura, então reportei com k=1.

Resposta

(a) s\approx 0{,}0127\\ \text{s} (desvio padrão amostral) e erro estatístico u_A\approx 0{,}00481\\ \text{s}.
(b) Valor mais provável \bar{t}=7{,}844\\ \text{s}; incerteza combinada u_c\approx 0{,}0288\\ \text{s}. Intervalo: 7{,}844\\ \text{s}\pm 0{,}0288\\ \text{s} (ou seja, aproximadamente [7{,}815\\ \text{s},\;7{,}873\\ \text{s}]).

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