Determinar o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto c dado, das seguintes funções:
f(x)=ln (1-x) ; c=0 e 1 / 2 ; n=4.

Passo 1

Estamos buscando o polinômio de Taylor de ordem 4 para a função f(x)=ln(1-x) nos pontos c=0 (Maclaurin) e c=tfrac12. Para isso, vamos usar a definição de polinômio de Taylor baseada nas derivadas de f em c.

Passo 2

Recordando a definição: o polinômio de Taylor de ordem n em torno de c é dado por
Pn(x)=sumk=0^n f^(k)(c)k!(x-c)^k
Então precisamos calcular até a quarta derivada de f no ponto desejado e montar essa soma.

Passo 3

Para c=0, temos a expansão conhecida (Maclaurin):
ln(1-x)=-sumk=1^infty x^kk,
que truncando até k=4 fica
P4(x)=-x-x^22-x^33-x^44

Passo 4

Para c=tfrac12, vamos calcular as derivadas de f(x)=ln(1-x):
f'(x)=-11-x, f''(x)=-1(1-x)^2, f'''(x)=-2(1-x)^3, f^(4)(x)=-6(1-x)^4
Em x=tfrac12 isso dá
f(tfrac12)=-ln2, f'(tfrac12)=-2, f''(tfrac12)=-4, f'''(tfrac12)=-16, f^(4)(tfrac12)=-96
Agora inserimos na fórmula do polinômio:
P4(x)=-ln2 -2,(x-tfrac12) -2,(x-tfrac12)^2 -83,(x-tfrac12)^3 -4,(x-tfrac12)^4

Resposta

Para c=0:
P4(x)=-x-x^22-x^33-x^44
Para c=tfrac12:
P4(x)=-ln2 -2,(x-tfrac12) -2,(x-tfrac12)^2 -83,(x-tfrac12)^3 -4,(x-tfrac12)^4

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