Use qualquer método para determinar se a série converge.
sumk=1^infty ln ke^k

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série de termos positivos
sumk=1^infty ln ke^k converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o teste de convergência de séries, e vamos usar o teste da razão para séries de termos positivos.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, definimos ak = ln ke^k e calculamos
L = limk to infty ak+1ak = limk to infty ln(k+1)e^k+1 cdot e^kln k = 1e limk to infty ln(k+1)ln k
Como limktoinfty ln(k+1)ln k = 1, temos
L = 1e < 1

Passo 3

Como o limite do teste da razão L é menor que 1, concluímos que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série sumk=1^infty ln ke^k converge (convergência absoluta pelo teste da razão).

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