Determinar o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto c dado, das seguintes funções:
f(x)=e^-x ; c=-1 e 2 ; n=4.

Passo 1

Estamos buscando o polinômio de Taylor de ordem 4 da função f(x)=e^-x nos pontos c=-1 e c=2. O conteúdo envolve a definição de polinômio de Taylor centrado e o cálculo das derivadas de f.

Passo 2

Para qualquer função f suficientemente suave, o polinômio de Taylor de ordem n em torno de c é dado por
Tn(x)= sumk=0^n f^(k)(c)k!,(x-c)^k
Vamos usar essa fórmula para n=4.

Passo 3

Calculamos as derivadas de f(x)=e^-x:
f^(k)(x)=(-1)^k e^-x
Isso porque cada derivada traz um fator -1 extra.

Passo 4

Avaliamo-las no ponto c:
f^(k)(c)=(-1)^k e^-c
Substituindo na fórmula geral, obtemos
T4(x)=e^-csumk=0^4 (-1)^kk!(x-c)^k

Passo 5

Para c=-1 temos e^-c=e^1=e. Logo
T4^(-1)(x)=esumk=0^4 (-1)^kk!(x+1)^k =e - e(x+1) + e2(x+1)^2 - e6(x+1)^3 + e24(x+1)^4

Passo 6

Para c=2 temos e^-c=e^-2. Assim
T4^(2)(x)=e^-2sumk=0^4 (-1)^kk!(x-2)^k =e^-2 - e^-2(x-2) + e^-22(x-2)^2 - e^-26(x-2)^3 + e^-224(x-2)^4

Resposta

Polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de c=-1:
T4^(-1)(x)=e - e(x+1) + e2(x+1)^2 - e6(x+1)^3 + e24(x+1)^4
Polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de c=2:
T4^(2)(x)=e^-2 - e^-2(x-2) + e^-22(x-2)^2 - e^-26(x-2)^3 + e^-224(x-2)^4

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