(vale 2,0 pts ) square Determine a solução do PVI:
l t^2 y^prime prime-t y^prime+y=0, t>0 y(1)=1, y^prime(1)=0

Passo 1

Vamos resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação dada é:
t^2 y'' - t y' + y = 0, t > 0
E as condições iniciais são:
y(1) = 1, y'(1) = 0
Para resolver isso, vamos usar o método para equações de Cauchy-Euler, que é adequado quando os coeficientes das derivadas são funções potências de $ t $.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a equação é uma equação de Cauchy-Euler. Nesses casos, assumimos que a solução tem a forma:
y(t) = t^m
Onde $ m $ é um número que precisamos determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de $ y(t) $:
y(t)
y'(t) = m t^m-1

Passo 4

Substituímos $ y(t) $, $ y’(t) $ e $ y’’(t) $ na equação original:
y(t)
Simplificando cada termo:
y'(t)

Passo 5

Fatoramos $ t^{m} $ da equação:
t^m
Simplificando o que está dentro dos colchetes:
t^m [m (m-1) - m + 1] = 0
Então:
m^2 - m - m + 1 = m^2 - 2m + 1

Passo 6

Para que a equação seja válida para $ t > 0 $, precisamos que:
t > 0
Resolvendo essa equação quadrática:
m^2 - 2m + 1 = 0
Como temos uma raiz dupla, a solução geral será:
(m - 1)^2 = 0 Rightarrow m = 1

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
Primeiro, para $ t = 1 $:
C1
Então, $ C_{1} = 1 $.

Passo 8

Agora, calculamos a derivada $ y’(t) $:
y'(t)
Aplicamos a condição $ y’(1) = 0 $:
y'(t) = C1 + C2 (ln t + 1)
Sabemos que $ C_{1} = 1 $, então:
y'(1) = 0

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = t - t ln t

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