(vale
)
Determine a solução do PVI:
Passo 1
Vamos resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação dada é:
E as condições iniciais são:
Para resolver isso, vamos usar o método para equações de Cauchy-Euler, que é adequado quando os coeficientes das derivadas são funções potências de $ t $.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a equação é uma equação de Cauchy-Euler. Nesses casos, assumimos que a solução tem a forma:
Onde $ m $ é um número que precisamos determinar.
Passo 3
Calculamos as derivadas de $ y(t) $:
Passo 4
Substituímos $ y(t) $, $ y’(t) $ e $ y’’(t) $ na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Fatoramos $ t^{m} $ da equação:
Simplificando o que está dentro dos colchetes:
Então:
Passo 6
Para que a equação seja válida para $ t > 0 $, precisamos que:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral será:
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
Primeiro, para $ t = 1 $:
Então, $ C_{1} = 1 $.
Passo 8
Agora, calculamos a derivada $ y’(t) $:
Aplicamos a condição $ y’(1) = 0 $:
Sabemos que $ C_{1} = 1 $, então:
Resposta
A solução do problema é: