Determinar os pólos e os respectivos resíduos de cada função.
\frac{1}{z(z+2)^{3}}

Passo 1

Temos a função
f(z)=\frac{1}{z\,(z+2)^{3}}
e queremos determinar seus polos (pontos onde o denominador se anula) e os resíduos correspondentes. Para isso usaremos a definição de polo de ordem m e as fórmulas de resíduo para polos simples e de ordem maior que 1.

Passo 2

Identificamos os zeros do denominador:
- z=0 torna z nulo e aparece com grau 1 no denominador, logo é um polo simples.
- z=-2 anula o fator (z+2) que está elevado a 3, logo é um polo de ordem 3.

Passo 3

Para o polo simples em z=0, a fórmula do resíduo é
\Res(f,0)=\lim_{z\to0} z\,f(z) =\lim_{z\to0}\frac{z}{z\,(z+2)^{3}} =\lim_{z\to0}\frac{1}{(z+2)^{3}} =\frac{1}{2^{3}} =\frac{1}{8}.

Passo 4

Para o polo de ordem 3 em z=-2, usamos
\Res(f,-2) =\frac{1}{(3-1)!}\lim_{z\to-2}\frac{d^{2}}{dz^{2}}\Bigl[(z+2)^{3}f(z)\Bigr].
Como
(z+2)^{3}f(z)=\frac{(z+2)^{3}}{z\,(z+2)^{3}}=\frac{1}{z},
temos
\frac{d}{dz}\Bigl(\tfrac{1}{z}\Bigr)=-\frac{1}{z^{2}}, \quad \frac{d^{2}}{dz^{2}}\Bigl(\tfrac{1}{z}\Bigr)=\frac{2}{z^{3}}.
Logo
\Res(f,-2) =\frac{1}{2!}\;\lim_{z\to-2}\frac{2}{z^{3}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{(-2)^{3}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{-8} =-\frac{1}{8}.

Resposta

Polo em z=0 (simples), \Res(f,0)=\tfrac{1}{8}.
Polo em z=-2 (ordem 3), \Res(f,-2)=-\tfrac{1}{8}.

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