O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por
, sendo
em volts,
,
cm .
(a) Determine a derivada direcional de
na direção do vetor
no ponto
(b) Dê o versor da direção, a partir de
, em que a taxa de variação do potencial é máxima e o valor desta taxa é máxima.
© Determine o versor da direção normal superfície equipotencial que passa pelo ponto
.
(a) Determine a derivada direcional de
(b) Dê o versor da direção, a partir de
© Determine o versor da direção normal superfície equipotencial que passa pelo ponto
Passo 1
A questão dá o potencial elétrico
e pede (a) a derivada direcional de V na direção de
Passo 2
Primeiro, lembramos que para uma função escalar
, o gradiente é dado por
e que a derivada direcional na direção unitária
é
Além disso, a direção de máxima variação é justamente o gradiente, e o valor máximo dessa derivada é
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
$$V=\ln\sqrt{x2+y2+z2}=\tfrac12\ln(x2+y2+z2).
\frac{\partial V}{\partial y}=\frac{y}{x2+y2+z^2},\quad
\frac{\partial V}{\partial z}=\frac{z}{x2+y2+z^2}.
\frac{\partial V}{\partial z}=\frac{z}{x2+y2+z^2}.
Passo 4
No ponto
temos
portanto
$$\nabla V(A)=\Bigl(0,\frac{5}{169},\frac{12}{169}\Bigr).
=0\cdot\tfrac{3}{13}+\tfrac{5}{169}\cdot\tfrac{4}{13}+\tfrac{12}{169}\cdot\tfrac{12}{13}
=\frac{164}{169\cdot13}
=\frac{164}{2197}.
=\frac{164}{169\cdot13}
=\frac{164}{2197}.
$$
Passo 5
A direção de máxima variação de uma função escalar é dada pelo próprio gradiente. O versor nessa direção é
$$u_{\max}=\frac{\nabla V(A)}{|\nabla V(A)|}.
=\sqrt{\frac{25+144}{169^2}}=\frac{1}{13}.
O valor máximo da derivada direcional é exatamente
Passo 6
Para uma superfície equipotencial
, o vetor normal à superfície é o gradiente de V. O versor normal em A é portanto o mesmo que
:
$$n=\Bigl(0,\tfrac{5}{13},\tfrac{12}{13}\Bigr).
$$
Resposta
(a)
.
(b) Versor de máxima variação: , valor máximo =
.
© Versor normal à superfície equipotencial em A: .
(b) Versor de máxima variação:
© Versor normal à superfície equipotencial em A: