O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por V(x, y, z)=ln raizx^2+y^2+z^2, sendo V em volts, x, y, z em cm .
(a) Determine a derivada direcional de V na direção do vetor v=3 i+4 j+12 k no ponto A=(0,5,12)
(b) Dê o versor da direção, a partir de A, em que a taxa de variação do potencial é máxima e o valor desta taxa é máxima.
© Determine o versor da direção normal superfície equipotencial que passa pelo ponto A.

Passo 1

A questão dá o potencial elétrico
V(x,y,z)=lnraizx^2+y^2+z^2
e pede (a) a derivada direcional de V na direção de v=3,i+4,j+12,k em A=(0,5,12), (b) o versor onde a variação é máxima e esse valor máximo, e © o versor normal à superfície equipotencial em A. Vamos usar conceitos de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para uma função escalar V(x,y,z), o gradiente é dado por nabla V=(partial V/partial x,,partial V/partial y,,partial V/partial z) e que a derivada direcional na direção unitária u é
DuV=nabla Vcdot u
Além disso, a direção de máxima variação é justamente o gradiente, e o valor máximo dessa derivada é |nabla V|

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de
$$V=\ln\sqrt{x2+y2+z2}=\tfrac12\ln(x2+y2+z2).
V=lnraizx^2+y^2+z^2=tfrac12ln(x^2+y^2+z^2) \frac{\partial V}{\partial x}=\frac{x}{x2+y2+z^2},\quad
\frac{\partial V}{\partial y}=\frac{y}{x2+y2+z^2},\quad
\frac{\partial V}{\partial z}=\frac{z}{x2+y2+z^2}.
partial Vpartial x=xx^2+y^2+z^2, partial Vpartial y=yx^2+y^2+z^2, partial Vpartial z=zx^2+y^2+z^2 \nabla V=\frac{(x,y,z)}{x2+y2+z^2}.$$

Passo 4

No ponto A=(0,5,12) temos
x^2+y^2+z^2=0+25+144=169,
portanto
$$\nabla V(A)=\Bigl(0,\frac{5}{169},\frac{12}{169}\Bigr).
nabla V(A)=l(0,5169,12169r) éóéçãéu=\frac{v}{|v|}=\Bigl(\frac{3}{13},\frac{4}{13},\frac{12}{13}\Bigr).
v=(3,4,12)ãD_{u}V(A)=\nabla V(A)\cdot u
=0\cdot\tfrac{3}{13}+\tfrac{5}{169}\cdot\tfrac{4}{13}+\tfrac{12}{169}\cdot\tfrac{12}{13}
=\frac{164}{169\cdot13}
=\frac{164}{2197}.
$$

Passo 5

A direção de máxima variação de uma função escalar é dada pelo próprio gradiente. O versor nessa direção é
$$u_{\max}=\frac{\nabla V(A)}{|\nabla V(A)|}.
umax=nabla V(A)|nabla V(A)| ó|\nabla V(A)|=\sqrt{02+\bigl(\tfrac{5}{169}\bigr)2+\bigl(\tfrac{12}{169}\bigr)^2}
=\sqrt{\frac{25+144}{169^2}}=\frac{1}{13}.
nabla V(A)u_{\max}=(0,\tfrac{5/169}{1/13},\tfrac{12/169}{1/13})=(0,\tfrac{5}{13},\tfrac{12}{13}).$$
O valor máximo da derivada direcional é exatamente |nabla V(A)|=raiz0^2+l(tfrac5169r)^2+l(tfrac12169r)^2 =raiz25+144169^2=113

Passo 6

Para uma superfície equipotencial V=constante, o vetor normal à superfície é o gradiente de V. O versor normal em A é portanto o mesmo que umax:
$$n=\Bigl(0,\tfrac{5}{13},\tfrac{12}{13}\Bigr).
$$

Resposta

(a) DuV(A)=tfrac1642197,V/cm.
(b) Versor de máxima variação: l(0,5/13,12/13r), valor máximo = 1/13,V/cm.
© Versor normal à superfície equipotencial em A: l(0,5/13,12/13r).

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