Usando o Teorema dos Resíduos calcule a integral
\oint_{c} \frac{4-3 z}{z^{2}-z} d z
em um caminho fechado que inclua 0 e 1 , no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
\oint_{c} \frac{4-3 z}{z^{2}-z}\,dz
em um caminho fechado c que inclui os pontos 0 e 1, percorrido no sentido anti-horário. As informações relevantes são:
  • A função integranda é f(z)=\dfrac{4-3z}{z^{2}-z}.
  • O denominador fatoriza como z^{2}-z=z(z-1).
  • Os pontos singulares (possíveis polos) são z=0 e z=1.
  • O contorno inclui ambos os pontos 0 e 1 no interior e o sentido é anti-horário (positivo).

Passo 2

Vou usar o Teorema dos Resíduos. Enunciado do teorema (versão usada aqui):
\oint_{c} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k} \operatorname{Res}(f; z_k),
onde a soma é sobre todos os polos z_k de f que estão dentro do contorno c, e \operatorname{Res}(f; z_k) é o resíduo de f em z_k.
Explicação rápida do que é resíduo para polos simples: se z_0 é um polo simples de f, então
\operatorname{Res}(f; z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z).
Esse limite isola o coeficiente de (z-z_0)^{-1} na expansão de Laurent de f ao redor de z_0.

Passo 3

Identificar o tipo dos polos em z=0 e z=1. Como o denominador é z(z-1) e o numerador 4-3z é finito e não anulador simultaneamente em z=0 ou z=1 (vamos verificar), cada um desses zeros do denominador corresponde a um polo simples, desde que o numerador não anule o mesmo ponto com multiplicidade que cancele o polo.
Verificação:
  • Em z=0, numerador 4-3\cdot 0=4\neq 0 → polo simples em z=0.
  • Em z=1, numerador 4-3\cdot 1=1\neq 0 → polo simples em z=1.
Portanto ambos são polos simples e estão dentro do contorno.

Passo 4

Calcular o resíduo em z=0 usando a fórmula para polo simples:
\operatorname{Res}\bigl(f;0\bigr)=\lim_{z\to 0} z\cdot \frac{4-3z}{z(z-1)}.
Simplificando a expressão dentro do limite:
z\cdot \frac{4-3z}{z(z-1)}=\frac{4-3z}{z-1}.
Agora o limite quando z\to 0:
\operatorname{Res}\bigl(f;0\bigr)=\lim_{z\to 0}\frac{4-3z}{z-1}=\frac{4-0}{0-1}=\frac{4}{-1}=-4.

Passo 5

Calcular o resíduo em z=1 da mesma forma:
\operatorname{Res}\bigl(f;1\bigr)=\lim_{z\to 1} (z-1)\cdot \frac{4-3z}{z(z-1)}.
Simplificando:
(z-1)\cdot \frac{4-3z}{z(z-1)}=\frac{4-3z}{z}.
Tomando o limite z\to 1:
\operatorname{Res}\bigl(f;1\bigr)=\lim_{z\to 1}\frac{4-3z}{z}=\frac{4-3\cdot 1}{1}=\frac{1}{1}=1.

Passo 6

Somar os resíduos encontrados:
\sum \operatorname{Res} = \operatorname{Res}(f;0)+\operatorname{Res}(f;1) = -4 + 1 = -3.
Aplicar o Teorema dos Resíduos:
\oint_{c} \frac{4-3 z}{z^{2}-z}\,dz = 2\pi i \times (-3) = -6\pi i.

Passo 7

Uma maneira alternativa e que confirma os resíduos é decompor a função em frações parciais:
Procurar A,B tais que
\frac{4-3z}{z(z-1)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z-1}.
Multiplicando por z(z-1):
4-3z = A(z-1)+Bz.
Tomando z=0 4 = A(-1)\Rightarrow A=-4. Tomando z=1 4-3= B\Rightarrow B=1.
Essa decomposição mostra que os coeficientes A e B são exatamente os resíduos em 0 e 1, ou seja -4 e 1, e a integral é 2\pi i(A+B)=2\pi i(-3)=-6\pi i, em acordo com o cálculo anterior.

Resposta

-6\pi i

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