Usando o Teorema dos Resíduos calcule a integral
em um caminho fechado que inclua 0 e 1 , no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
em um caminho fechado
que inclui os pontos
e
, percorrido no sentido anti-horário. As informações relevantes são:
- A função integranda é
. - O denominador fatoriza como
. - Os pontos singulares (possíveis polos) são
e . - O contorno inclui ambos os pontos
e no interior e o sentido é anti-horário (positivo).
Passo 2
Vou usar o Teorema dos Resíduos. Enunciado do teorema (versão usada aqui):
onde a soma é sobre todos os polos
de
que estão dentro do contorno
, e
é o resíduo de
em
.
Explicação rápida do que é resíduo para polos simples: se
é um polo simples de
, então
Esse limite isola o coeficiente de
na expansão de Laurent de
ao redor de
.
Passo 3
Identificar o tipo dos polos em
e
. Como o denominador é
e o numerador
é finito e não anulador simultaneamente em
ou
(vamos verificar), cada um desses zeros do denominador corresponde a um polo simples, desde que o numerador não anule o mesmo ponto com multiplicidade que cancele o polo.
Verificação:
- Em
, numerador → polo simples em . - Em
, numerador → polo simples em .
Portanto ambos são polos simples e estão dentro do contorno.
Passo 4
Calcular o resíduo em
usando a fórmula para polo simples:
Simplificando a expressão dentro do limite:
Agora o limite quando
:
Passo 5
Calcular o resíduo em
da mesma forma:
Simplificando:
Tomando o limite
:
Passo 6
Somar os resíduos encontrados:
Aplicar o Teorema dos Resíduos:
Passo 7
Uma maneira alternativa e que confirma os resíduos é decompor a função em frações parciais:
Procurar tais que
Procurar
Multiplicando por
:
Tomando
dá
. Tomando
dá
.
Essa decomposição mostra que os coeficientes e
são exatamente os resíduos em
e
, ou seja
e
, e a integral é
, em acordo com o cálculo anterior.
Essa decomposição mostra que os coeficientes