Determinar os pontos críticos da função dada e classifique-os em ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los como ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas.
Passo 2
Primeiro, o que são pontos críticos? São os valores de
onde a derivada da função
é igual a zero ou não existe. Esses pontos ajudam a identificar onde a função pode ter máximos, mínimos ou mudanças na concavidade.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada da função
:
Passo 4
Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 6
Para classificar esse ponto crítico, precisamos analisar a concavidade da função nesse ponto. Vamos calcular a segunda derivada
:
Passo 7
Avaliamos a segunda derivada em
:
Quando a segunda derivada é zero, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Então, precisamos verificar o comportamento da primeira derivada ao redor de
.
Passo 8
Vamos escolher valores próximos a
para ver como
se comporta:
-
Para
, digamos : -
Para
, digamos :
Passo 9
Observamos que a derivada
é positiva tanto para
quanto para
. Isso significa que a função está aumentando antes e depois de
, sem mudar a direção da inclinação. Portanto,
não é um ponto de máximo ou mínimo, mas sim um ponto de inflexão, onde a concavidade da função muda.
Resposta
A função
tem um ponto crítico em
, e esse ponto é um ponto de inflexão.