(^*) (Diluição de soluções) Um reservatório contendo V litros de água pura começa a receber uma solução de água salgada ( c kg de sal por litro de solução) a uma razão constante de q litros por segundo.
Um mecanismo de agitação no reservatório mantém homogênea a solução que vai sendo formada. Simultaneamente ao processo de injeção de água salgada, retira-se do reservatório a solução formada na razão de q litros por segundo.
(a) Determine a quantidade de sal no reservatório num instante futuro.
(b) Determine o valor limite para a concentração de sal na solução.
Sugestão: Seja x(t) a quantidade de sal (em kg) presente no reservatório em um instante de tempo t. Inicialmente, x(0)=0. No texto podemos determinar em cada instante de tempo a taxa de variação de x(t) com o tempo como o resultado da diferença entre a quantidade de sal que entra no reservatório por unidade de tempo menos a quantidade de sal que sai do reservatório por unidade de tempo.
Resposta:
x(t)=c V[1-exp (-q t / V)], lim t +infty x(t)=c V

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre diluição de soluções. Temos um reservatório com litros de água pura que começa a receber uma solução salgada com concentração kg de sal por litro, na taxa de litros por segundo. Além disso, a solução é bem misturada e está saindo do reservatório na mesma taxa litros por segundo. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial para determinar a quantidade de sal no reservatório ao longo do tempo e o comportamento dessa quantidade quando o tempo tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos definir como a quantidade de sal, em quilogramas, no reservatório em um instante de tempo . Inicialmente, não tem sal, então .

Passo 3

Agora, vamos pensar nas taxas de entrada e saída de sal no reservatório:
  • Entrada de sal: A solução que entra tem concentração kg/litro e entra a uma taxa de litros por segundo. Então, a taxa de entrada de sal é kg por segundo.
  • Saída de sal: A solução que sai tem a mesma concentração da que está no reservatório, já que está bem misturada. A concentração no reservatório no tempo é kg/litro. Como a taxa de saída é litros por segundo, a taxa de saída de sal é kg por segundo.

Passo 4

A taxa de variação da quantidade de sal no reservatório é a diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída:
dx(t)dt = Taxa de entrada - Taxa de saída = c q - qV x(t) í

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos rearranjar os termos:
dx(t)dt + qV x(t) = c q

Passo 6

Vamos encontrar um fator integrante para resolver essa equação. O fator integrante mu(t) = e^integral qV dt = e^qV t é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^qV t dx(t)dt + e^qV t qV x(t) = c q e^qV t
Isso simplifica para:
ddt ( e^qV t x(t) ) = c q e^qV t

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a e^qV t x(t) = integral c q e^qV t dt + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo a integral:
integral c q e^qV t dt = c V e^qV t + C
Então:
e^qV t x(t) = c V e^qV t + C

Passo 10

Dividindo ambos os lados por x(t) = c V + C e^-qV t :

Passo 11

Usamos a condição inicial 0 = c V + C e^0 implies C = -c V para encontrar :

Passo 12

Substituindo x(t) = c V - c V e^-qV t = c V ( 1 - e^-qV t ) na expressão de :

Resposta

A quantidade de sal no reservatório em um instante de tempo x(t) = c V ( 1 - e^-q tV ) é:
limt to +infty x(t) = c V
E o valor limite para a concentração de sal na solução, quando tende ao infinito, é:

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