Calcule utilizando o método de Frações Parciais. .
(o) integral x^4+x+1x^3-x2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral usando o método de Frações Parciais. Isso envolve álgebra de polinômios e integração. Primeiro, precisamos simplificar a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Observamos que o grau do numerador ( ) é maior que o do denominador ( ). Nesses casos, fazemos uma divisão polinomial para deixar a fração em uma forma onde o numerador tenha grau menor que o denominador.

Passo 3

Vamos dividir x^4 + x + 1 - (x cdot x^3 - x cdot x2) = x^4 + x + 1 - (x^4 - x^22) = x^22 + x + 1 por .
Começamos dividindo por , o que dá . Multiplicamos por e subtraímos do numerador:

Passo 4

Agora, temos a fração simplificada:
x^4+x+1x^3-x2 = x + x^22 + x + 1x^3-x2
Vamos focar na parte da fração para usar as Frações Parciais.

Passo 5

Primeiro, fatoramos o denominador x^3 - x2 = x(x^2 - 12) = x(x - raiz22)(x + raiz22) :

Passo 6

Agora, escrevemos a fração x^22 + x + 1x(x^2 - 12) = Ax + Bx + Cx^2 - 12 como soma de frações parciais:

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados por x^22 + x + 1 = A(x^2 - 12) + (Bx + C)x para eliminar os denominadores:
x^22 + x + 1 = A x^2 - A2 + B x^2 + C x
Simplificando:

Passo 8

Agrupamos os termos semelhantes:
(A + B) x^2 + C x - A2 = x^22 + x + 1
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de A + B = 12 :
C = 1
-A2 = 1

Passo 9

Resolvemos o sistema de equações:
Primeiro, da terceira equação: implica que .
Depois, da segunda equação: .
Finalmente, da primeira equação: então .

Passo 10

Agora, substituímos x^22 + x + 1x(x^2 - 12) = -2x + 52x + 1x^2 - 12 , e na expressão das frações parciais:

Passo 11

Voltando à integral original, temos:
integral x^4+x+1x^3-x2 , dx = integral ( x + -2x + 52x + 1x^2 - 12 ) dx

Passo 12

Vamos integrar termo a termo:
  1. integral 52x + 1x^2 - 12 , dx = 54 ln|x^2 - 12| + C
  2. Para , observamos que o numerador é uma combinação linear da derivada do denominador. Então, isso se integra facilmente:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral x^4+x+1x^3-x2 , dx = x^22 - 2 ln|x| + 54 ln|x^2 - 12| + C
Onde é a constante de integração.

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