Sejam f e g funções tais que
f(3)=1, f^prime(3)=-2, g(3)=27 e g^prime(3)=0
Calcule h^prime(3) em que h(x)=f(x)raiz[3]g(x).
Resposta. h^prime(3)= square

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos encontrar h'(3) para a função h(x)=f(x)raiz[3]g(x), sabendo que f(3)=1, f'(3)=-2, g(3)=27 e g'(3)=0. O conteúdo envolve derivada de quociente, que trataremos como produto usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos h(x) numa forma mais confortável para derivar, usando potência negativa:
h(x)=f(x),(g(x))^-tfrac13

Passo 3

Definimos u(x)=f(x) e v(x)=(g(x))^-1/3. Pela regra do produto,
h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

Passo 4

u'(x)=f'(x). Para v'(x) aplicamos a regra da cadeia a (g(x))^-1/3:
v'(x)=-tfrac13(g(x))^-tfrac43cdot g'(x)

Passo 5

Assim,
h'(x)=f'(x),(g(x))^-tfrac13+f(x)l(-tfrac13(g(x))^-tfrac43cdot g'(x)r)

Passo 6

Agora substituímos x=3 e usamos os valores dados. Como g'(3)=0, o segundo termo some. Também 27^-1/3=1/3.
h'(3)=f'(3)cdottfrac13+f(3)cdot0=-2cdottfrac13=-tfrac23

Resposta

-tfrac23

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