Determinar os pontos críticos das funções abaixo e dizer quais deles são máximos locais, quais são mínimos locais e quais são pontos de sela.
f(x, y)=(x^2+y^2) e^-(x^2+y^2);

Passo 1

A questão pede os pontos críticos de f(x,y) = (x²+y²) e^{−(x²+y²)}, seu conteúdo é gradiente e classificação de pontos críticos. Vamos precisar calcular as derivadas parciais, achar onde ∇f = 0 e depois classificar via análise de variação radial.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais:
f_x = 2x(1 − (x²+y²)) e^{−(x²+y²)} e f_y = 2y(1 − (x²+y²)) e^{−(x²+y²)}.
A ideia é igualar f_x = 0 e f_y = 0.
Como e^{−(x²+y²)} ≠ 0 e o fator 2 também é ≠ 0, das equações f_x = 0 e f_y = 0 vem: x(1 − r²) = 0 e y(1 − r²) = 0, onde r² = x²+y².
Isso gera dois casos que satisfazem ambas as equações simultaneamente:
  1. r² = 0 ⇒ (x,y) = (0,0).
  2. 1 − r² = 0 ⇒ r = 1 ⇒ conjunto de pontos x²+y² = 1.

Passo 3

Para classificar, note que f depende só de r = √(x²+y²). Definimos g® = r² e^{−r²}.
Calculamos g’® = 2r(1 − r²)e^{−r²}.
Isso mostra g’®>0 se r<1 e g’®<0 se r>1, logo r=1 é ponto de máximo radial.
Também g’’(0) = 2>0 implica r=0 é mínimo radial.
Como f é radially simétrica, (0,0) é mínimo local e todo ponto com r=1 é máximo local (não estrito no sentido tangencial, mas local em r).
Não aparece nenhuma região onde f cresça em uma direção e decresça em outra (sela). Assim só há mínimos e máximos locals, sem pontos de sela.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0) e todos os (x,y) tais que x²+y²=1. O ponto (0,0) é mínimo local e todos os pontos do círculo x²+y²=1 são máximos locais.

Exercícios relacionados