Determinar os pontos críticos das funções abaixo e dizer quais deles são máximos locais, quais são mínimos locais e quais são pontos de sela.
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Passo 1
Nesse exercício vamos analisar a função f(x,y)=(x−1)²+2y² para encontrar pontos onde suas derivadas parciais se anulam e depois usar o teste da Hessiana para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de f. Para a variável x:
Para a variável y:
Em seguida igualamos cada derivada parcial a zero para achar os pontos críticos:
Logo há um único ponto crítico em (1,0).
Passo 3
Agora vamos classificar esse ponto usando a matriz Hessiana H de f, cujos elementos são as segundas derivadas parciais:
A Hessiana é
Passo 4
Para verificar se H é definida positiva, usamos os principais menores: o primeiro menor é D₁=f_{xx}=2>0 e o determinante completo D₂=2·4−0=8>0. Como ambos são positivos, H é definida positiva, o que indica que f tem um mínimo local em (1,0).
Resposta
Ponto crítico: (1,0), que é mínimo local. Não há máximos locais nem pontos de sela.