Determinar os pontos críticos das funções abaixo e dizer quais deles são máximos locais, quais são mínimos locais e quais são pontos de sela.
f(x, y)=(x-1)^2+2 y^2;

Passo 1

Nesse exercício vamos analisar a função f(x,y)=(x−1)²+2y² para encontrar pontos onde suas derivadas parciais se anulam e depois usar o teste da Hessiana para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f. Para a variável x: partial fpartial x=2(x-1) Para a variável y: partial fpartial y=4y
Em seguida igualamos cada derivada parcial a zero para achar os pontos críticos: 2(x-1)=0implies x=1, 4y=0implies y=0 Logo há um único ponto crítico em (1,0).

Passo 3

Agora vamos classificar esse ponto usando a matriz Hessiana H de f, cujos elementos são as segundas derivadas parciais: fxx=2, quad fyy=4, quad fxy=fyx=0 A Hessiana é
H=2 & 00 & 4

Passo 4

Para verificar se H é definida positiva, usamos os principais menores: o primeiro menor é D₁=f_{xx}=2>0 e o determinante completo D₂=2·4−0=8>0. Como ambos são positivos, H é definida positiva, o que indica que f tem um mínimo local em (1,0).

Resposta

Ponto crítico: (1,0), que é mínimo local. Não há máximos locais nem pontos de sela.

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