Suponha que uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas e que satisfaça a equação . Se soubermos que é ponto crítico de e que que tipo de ponto crítico será ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma função que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e satisfaz uma equação envolvendo essas derivadas. Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de ponto crítico é para essa função.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre pontos críticos e como analisá-los usando derivadas parciais. Também vamos utilizar a equação dada para relacionar as derivadas da função aos termos .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Um ponto crítico de uma função é um ponto onde todas as derivadas parciais primeiras são iguais a zero, ou seja:
No problema, já sabemos que é um ponto crítico, então:
Passo 3
Para determinar o tipo de ponto crítico, geralmente usamos a análise da matriz Hessiana, que envolve as derivadas parciais de segunda ordem. A matriz Hessiana é dada por:
O tipo de ponto crítico depende do determinante dessa matriz:
Se e : mínimo local
Se e : máximo local
Se : ponto de sela
Se : teste inconclusivo
Passo 4
Agora, vamos usar a equação dada no problema para encontrar as derivadas necessárias. A equação é:
Como é um ponto crítico, sabemos que e . Substituindo esses valores na equação:
Então:
Isso nos diz que a soma das derivadas segundas é zero no ponto crítico.
Passo 5
Também recebemos que partial^2 upartial x partial y(0, 0) = 1 . Então, agora sabemos:
Passo 6
Vamos montar a matriz Hessiana no ponto H = partial^2 upartial x^2|(0,0) & 1 1 & partial^2 upartial y^2|(0,0) :