Suponha que uma função u(x, y) com derivadas parciais de segunda ordem contínuas e que satisfaça a equação partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2+3 partial upartial x-2 partial upartial y=x^2+y^2. Se soubermos que P0=(0,0) é ponto crítico de u e que partial fpartial x partial y(0,0)=1 que tipo de ponto crítico será P0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma função que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e satisfaz uma equação envolvendo essas derivadas. Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de ponto crítico é para essa função.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre pontos críticos e como analisá-los usando derivadas parciais. Também vamos utilizar a equação dada para relacionar as derivadas da função aos termos .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Um ponto crítico de uma função partial upartial x = 0 e partial upartial y = 0 é um ponto onde todas as derivadas parciais primeiras são iguais a zero, ou seja:
partial upartial x(0, 0) = 0 e partial upartial y(0, 0) = 0
No problema, já sabemos que é um ponto crítico, então:

Passo 3

Para determinar o tipo de ponto crítico, geralmente usamos a análise da matriz Hessiana, que envolve as derivadas parciais de segunda ordem. A matriz Hessiana H = partial^2 upartial x^2 & partial^2 upartial x partial y partial^2 upartial y partial x & partial^2 upartial y^2 é dada por:
O tipo de ponto crítico depende do determinante dessa matriz:
  • Se e : mínimo local
  • Se e : máximo local
  • Se : ponto de sela
  • Se : teste inconclusivo

Passo 4

Agora, vamos usar a equação dada no problema para encontrar as derivadas necessárias. A equação é:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 + 3 partial upartial x - 2 partial upartial y = x^2 + y^2
Como partial^2 upartial x^2|(0,0) + partial^2 upartial y^2|(0,0) = 0^2 + 0^2 = 0 é um ponto crítico, sabemos que partial^2 upartial x^2|(0,0) + partial^2 upartial y^2|(0,0) = 0 e . Substituindo esses valores na equação:
Então:
Isso nos diz que a soma das derivadas segundas é zero no ponto crítico.

Passo 5

Também recebemos que partial^2 upartial x partial y(0, 0) = 1 . Então, agora sabemos:

Passo 6

Vamos montar a matriz Hessiana no ponto H = partial^2 upartial x^2|(0,0) & 1 1 & partial^2 upartial y^2|(0,0) :
partial^2 upartial x^2|(0,0) + partial^2 upartial y^2|(0,0) = 0
Sabemos que:
a + b = 0 implies b = -a
Vamos chamar H = a & 1 1 & -a e , então:
Então, a matriz Hessiana fica:

Passo 7

Agora, vamos calcular o determinante da matriz Hessiana:
det(H) = a cdot (-a) - (1)(1) = -a^2 - 1 = - (a^2 + 1)
Como é sempre positivo (porque ), ent��o .

Passo 8

Com o determinante da Hessiana negativo ( ), isso nos indica que o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico é um ponto de sela da função .

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