Determine os valores máximo e mínimo que
assume na região delimitada pelo triângulo determinado pelas retas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo de
na região triangular delimitada por
,
e
. O conteúdo aqui é otimização de função contínua em região fechada: pelo Teorema de Weierstrass, basta verificar pontos críticos internos e depois analisar a borda.
Passo 2
Calculemos os pontos críticos internos resolvendo
. Como
, temos
Igualando a zero, vem
e
, mas esse ponto
está fora do triângulo. Logo não há candidatos internos.
Passo 3
Agora analisamos a borda. Em cada aresta procuramos possíveis extremos:
- Em
: . A derivada em zera em (fora do intervalo), então só as extremidades importam:
e - Em
: . A derivada zera em , que é o extremo direito, então avaliamos: e em já temos - Em
: substituindo , . A derivada dá (fora de ), logo só os pontos finais entram: e , cujos valores já calculamos: 10 e 16.
Passo 4
Compilando os resultados nos vértices, temos
,
e
. Basta agora comparar esses valores para identificar o menor e o maior.
Resposta
O valor mínimo de
na região é
, alcançado em
, e o valor máximo é
, alcançado em
.