Determine os valores máximo e mínimo que f(x, y)=(x-1)^2+(y-4)^2 assume na região delimitada pelo triângulo determinado pelas retas y=0, x=0 e x+y=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores máximo e mínimo de f(x,y)=(x-1)^2+(y-4)^2 na região triangular delimitada por y=0, x=0 e x+y=1. O conteúdo aqui é otimização de função contínua em região fechada: pelo Teorema de Weierstrass, basta verificar pontos críticos internos e depois analisar a borda.

Passo 2

Calculemos os pontos críticos internos resolvendo nabla f=0. Como f(x,y)=(x-1)^2+(y-4)^2, temos
partial fpartial x=2(x-1), partial fpartial y=2(y-4)
Igualando a zero, vem x=1 e y=4, mas esse ponto (1,4) está fora do triângulo. Logo não há candidatos internos.

Passo 3

Agora analisamos a borda. Em cada aresta procuramos possíveis extremos:
  • Em x=0, 0<= y<=1: f(0,y)=1+(y-4)^2. A derivada em y zera em y=4 (fora do intervalo), então só as extremidades importam:
    f(0,0)=17 e f(0,1)=10
  • Em y=0, 0<= x<=1: f(x,0)=(x-1)^2+16. A derivada zera em x=1, que é o extremo direito, então avaliamos: f(1,0)=16 e em x=0 já temos f(0,0)=17
  • Em x+y=1, 0<= x<=1: substituindo y=1-x, f(x,1-x)=(x-1)^2+(x+3)^2. A derivada dá x=-1 (fora de [0,1]), logo só os pontos finais entram: (0,1) e (1,0), cujos valores já calculamos: 10 e 16.

Passo 4

Compilando os resultados nos vértices, temos f(0,0)=17, f(1,0)=16 e f(0,1)=10. Basta agora comparar esses valores para identificar o menor e o maior.

Resposta

O valor mínimo de f na região é 10, alcançado em (0,1), e o valor máximo é 17, alcançado em (0,0).

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