Determinar os pontos críticos das funções abaixo e dizer quais deles são máximos locais, quais são mínimos locais e quais são pontos de sela.
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos da função
e, em seguida, classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar o fato de que pontos críticos ocorrem onde o gradiente é zero e, depois, aplicar o teste da matriz Hessiana para classificação.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Agora impomos
e
:
De vem
De
De
Combinando
em
obtemos
logo
Passo 4
Para classificar, montamos a Hessiana:
No ponto
O determinante da Hessiana é
Como
Passo 5
Não existem outros pontos críticos no domínio
.
Resposta
O único ponto crítico é (4,2), e ele é mínimo local.