Determinar os pontos críticos das funções abaixo e dizer quais deles são máximos locais, quais são mínimos locais e quais são pontos de sela.
f(x, y)=8x+xy+y.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos da função f(x,y)=8x+xy+y e, em seguida, classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar o fato de que pontos críticos ocorrem onde o gradiente é zero e, depois, aplicar o teste da matriz Hessiana para classificação.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais:
fx(x,y)=partialpartial xl(8x+xy+yr)=-8x^2+1y,
fy(x,y)=partialpartial yl(8x+xy+yr)=-xy^2+1

Passo 3

Agora impomos fx=0 e fy=0:
De fx=0 vem
-8x^2+1y=0Longrightarrow y=x^28
De fy=0 vem
-xy^2+1=0Longrightarrow y^2=x
Combinando y^2=x em y=x^2/8 obtemos
y=(y^2)^28=y^48Longrightarrow y^3=8Longrightarrow y=2,
logo x=y^2=4. Há, portanto, um único ponto crítico (4,2).

Passo 4

Para classificar, montamos a Hessiana:
fxx=16x^3, fyy=2xy^3, fxy=fyx=-1y^2
No ponto (4,2):
fxx(4,2)=164^3=14, fyy(4,2)=2cdot42^3=1, fxy(4,2)=-12^2=-tfrac14
O determinante da Hessiana é
D=fxxfyy-(fxy)^2=14cdot1-l(-tfrac14r)^2=14-116=316>0
Como D>0 e fxx(4,2)>0, o ponto é mínimo local.

Passo 5

Não existem outros pontos críticos no domínio xneq0,yneq0.

Resposta

O único ponto crítico é (4,2), e ele é mínimo local.

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