Determinar os pontos criticos, intervalos onde a função é crescente e decrescente, os máximos e mínimos relativos.
f(x)=x^{4}-14 x^{2}-24 x+1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{4}-14x^{2}-24x+1
e pede:
  • determinar os pontos críticos;
  • determinar os intervalos onde a função é crescente e decrescente;
  • identificar os máximos e mínimos relativos (com seus valores).
Informações relevantes fornecidas: a função polinomial f está definida para todo x\in\mathbb{R}. Não há pontos onde a derivada seja indefinida (polinômios têm derivada definida em todo \mathbb{R}). A resolução seguirá encontrando f'(x), localizando suas raízes (pontos críticos) e analisando o sinal de f' em cada intervalo para classificar crescimento/decrescimento e extremos.

Passo 2

Conceito importante (explicado como numa prova, passo a passo):
  • A derivada f'(x) representa a taxa de variação (a inclinação) da função em cada ponto.
  • Pontos críticos são os pontos onde f'(x)=0 ou onde f' não existe. Aqui procuramos raízes de f'(x).
  • Se f' muda de sinal de negativo para positivo ao passar por um ponto crítico c, então f tem um mínimo relativo em c.
  • Se f' muda de positivo para negativo ao passar por c, então f tem um máximo relativo em c.
  • Como verificação alternativa, o teste da segunda derivada: se f''\text{(c)}>0 então mínimo, se f''\text{(c)}<0 então máximo (quando f'' existe).

Passo 3

Calcular a derivada f'(x). Derivando termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)-14\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)-24\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(1).
As derivadas são \frac{d}{dx}(x^{4})=4x^{3}, \frac{d}{dx}(x^{2})=2x, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(1)=0. Assim:
f'(x)=4x^{3}-28x-24.
Fatorando um 4:
f'(x)=4\bigl(x^{3}-7x-6\bigr).

Passo 4

Encontrar as raízes do polinômio cúbico x^{3}-7x-6. Testando raízes inteiras prováveis (divisores de 6): x=1\Rightarrow1-7-6=-12 não; x=-1\Rightarrow-1+7-6=0, então x=-1 é raiz. Fazendo divisão polinomial (ou sintética) por (x+1) obtemos:
x^{3}-7x-6=(x+1)(x^{2}-x-6).
O quadrático fatora:
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Portanto
f'(x)=4(x+1)(x-3)(x+2).
As raízes de f'(x)=0 são, então, x=-2,\\\ -1,\\\ 3. Como f' é definido em todo \mathbb{R}, estes são todos os pontos críticos.

Passo 5

Analisar o sinal de f'(x)=4(x+1)(x-3)(x+2) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos. O fator 4>0 não altera sinais, logo basta analisar o produto (x+2)(x+1)(x-3).
Intervalos naturais: (-\infty,-2),\\ (-2,-1),\\ (-1,3),\\ (3,\infty).
Escolhendo pontos teste e calculando o sinal de cada fator:
  • Para x<-2, por exemplo x=-3:
    x+2=-1\\ (<0),\quad x+1=-2\\ (<0),\quad x-3=-6\\ (<0).
    Três negativos \Rightarrow produto negativo \Rightarrow f'(x)<0. Logo f é decrescente em (-\infty,-2).
  • Para -2<x<-1, por exemplo x=-1{,}5:
    x+2=0{,}5\\ (>0),\quad x+1=-0{,}5\\ (<0),\quad x-3=-4{,}5\\ (<0).
    Dois negativos e um positivo \Rightarrow produto positivo \Rightarrow f'(x)>0. Logo f é crescente em (-2,-1).
  • Para -1<x<3, por exemplo x=0:
    x+2=2\\ (>0),\quad x+1=1\\ (>0),\quad x-3=-3\\ (<0).
    Um negativo \Rightarrow produto negativo \Rightarrow f'(x)<0. Logo f é decrescente em (-1,3).
  • Para x>3, por exemplo x=4:
    x+2=6\\ (>0),\quad x+1=5\\ (>0),\quad x-3=1\\ (>0).
    Todos positivos \Rightarrow produto positivo \Rightarrow f'(x)>0. Logo f é crescente em (3,\infty).
Resumo do sinal de f':
  • f'<0 em (-\infty,-2) e (-1,3).
  • f'>0 em (-2,-1) e (3,\infty).

Passo 6

Classificação dos pontos críticos usando o teste da primeira derivada (mudança de sinal):
  • Em x=-2: f' passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) \Rightarrow mínimo relativo em x=-2.
  • Em x=-1: f' passa de positivo para negativo \Rightarrow máximo relativo em x=-1.
  • Em x=3: f' passa de negativo para positivo \Rightarrow mínimo relativo em x=3.
Como verificação rápida, a segunda derivada é
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-28x-24\bigr)=12x^{2}-28.
Avaliações:
f''(-2)=12\cdot(-2)^{2}-28=48-28=20>0\quad(\text{mínimo}),í
f''(-1)=12\cdot1-28=12-28=-16<0\quad(\text{máximo}),á
f''(3)=12\cdot9-28=108-28=80>0\quad(\text{mínimo}).í
Confirmação consistente com o teste da primeira derivada.

Passo 7

Calcular os valores de f nos pontos críticos para dar as coordenadas dos extremos:
  • Para x=-2:
f(-2)=(-2)^{4}-14(-2)^{2}-24(-2)+1=16-56+48+1=9.
  • Para x=-1:
f(-1)=(-1)^{4}-14(-1)^{2}-24(-1)+1=1-14+24+1=12.
  • Para x=3:
f(3)=3^{4}-14\cdot3^{2}-24\cdot3+1=81-126-72+1=-116.
Portanto os extremos relativos são os pontos (-2,9), (-1,12) e (3,-116) com as classificações obtidas no passo anterior.

Resposta

Pontos críticos: x=-2,\;x=-1,\;x=3
Intervalos de crescimento: \;(-2,-1) e (3,\infty)
Intervalos de decrescimento: (-\infty,-2) e (-1,3)
Máximos e mínimos relativos:
(-1,12) é máximo relativo.
(-2,9) é mínimo relativo.
(3,-116) é mínimo relativo.

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