[IMPORTANTE] Mostre que:
\oint_{|z|=1} \frac{d z}{z^{2}+2 z}=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\oint_{|z|=1} \frac{dz}{z^{2}+2z}=0.
Informações dadas:
  • A integral é uma integral de linha complexa sobre o círculo |z|=1 (presumidamente orientado positivamente, ou seja, sentido anti-horário).
  • A função a integrar é \dfrac{1}{z^{2}+2z}, definida por partes exceto nos pontos onde o denominador zera.

Passo 2

Identificar as singularidades da função integranda. Fatorando o denominador:
z^{2}+2z = z(z+2).
Logo as singularidades (pontos onde a função não é analítica) são z=0 e z=-2.
Agora verificar quais singularidades estão dentro do círculo |z|=1:
  • \,|0|=0<1, portanto z=0 está dentro do círculo.
  • \,|-2|=2>1, portanto z=-2 está fora do círculo.
Concluir: há exatamente uma singularidade simples dentro do contorno, em z=0. Isso já indica que a integral não precisa ser zero automaticamente — só seria zero se a função fosse analítica em todo o disco fechado interior ao contorno.

Passo 3

Explicar o método que vamos usar: Teorema dos Resíduos. Ele diz que, para uma função meromorfa numa vizinhança fechada de um contorno simples fechado C e orientado positivamente,
\oint_{C} f(z)\,dz = 2\pi i \sum (\text{resíduos de }f\text{ dentro de }C).í
Como temos uma única singularidade simples dentro de |z|=1, basta calcular o resíduo em z=0.
Também é útil decompor em frações parciais para facilitar:
procuramos A,B tais que
\frac{1}{z(z+2)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z+2}.
Multiplicando por z(z+2) obtemos
1 = A(z+2)+B z = (A+B)z + 2A.
Comparando coeficientes:
  • Coeficiente de z: A+B=0.
  • Termo constante: 2A=1 então A=\dfrac{1}{2}.
    Daí B=-A=-\dfrac{1}{2}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{z(z+2)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{z}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{z+2}.

Passo 4

Calcular o resíduo em z=0. Para uma singularidade simples em z=z_{0}, o resíduo de f em z_{0} é \lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})f(z).
Usando a decomposição parcial, o termo que tem pólo em z=0 é \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{z}. Assim
\operatorname{Res}(f,0)=\frac{1}{2}.
(Alternativamente, pela fórmula direta: \operatorname{Res}(1/(z(z+2)),0)=\lim_{z\to 0} z\cdot\dfrac{1}{z(z+2)}=\dfrac{1}{2}.)

Passo 5

Aplicar o Teorema dos Resíduos. Como a única singularidade dentro de |z|=1 é z=0 com resíduo \tfrac{1}{2}, a integral vale
\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^{2}+2z}=2\pi i\cdot\frac{1}{2}=\pi i.
Portanto a integral não é zero; seu valor é \pi i. Se alguém escreveu que a integral é 0, houve um engano: a função não é analítica em todo o interior do círculo (tem pólo em z=0), logo o resultado não é nulo.

Resposta

\pi i

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