[IMPORTANTE] Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
Informações dadas:
- A integral é uma integral de linha complexa sobre o círculo
(presumidamente orientado positivamente, ou seja, sentido anti-horário). - A função a integrar é
, definida por partes exceto nos pontos onde o denominador zera.
Passo 2
Identificar as singularidades da função integranda. Fatorando o denominador:
Logo as singularidades (pontos onde a função não é analítica) são
e
.
Agora verificar quais singularidades estão dentro do círculo
:
-
, portanto está dentro do círculo. -
, portanto está fora do círculo.
Concluir: há exatamente uma singularidade simples dentro do contorno, em
. Isso já indica que a integral não precisa ser zero automaticamente — só seria zero se a função fosse analítica em todo o disco fechado interior ao contorno.
Passo 3
Explicar o método que vamos usar: Teorema dos Resíduos. Ele diz que, para uma função meromorfa numa vizinhança fechada de um contorno simples fechado
e orientado positivamente,
Como temos uma única singularidade simples dentro de
, basta calcular o resíduo em
.
Também é útil decompor em frações parciais para facilitar:
procuramos tais que
procuramos
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
então .
Daí.
Portanto a decomposição é
Passo 4
Calcular o resíduo em
. Para uma singularidade simples em
, o resíduo de
em
é
.
Usando a decomposição parcial, o termo que tem pólo em
é
. Assim
(Alternativamente, pela fórmula direta:
.)
Passo 5
Aplicar o Teorema dos Resíduos. Como a única singularidade dentro de
é
com resíduo
, a integral vale
Portanto a integral não é zero; seu valor é
. Se alguém escreveu que a integral é
, houve um engano: a função não é analítica em todo o interior do círculo (tem pólo em
), logo o resultado não é nulo.