Determinar os pontos criticos, intervalos onde a função é crescente e decrescente, os máximos e mínimos relativos.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- determinar os pontos críticos;
- determinar os intervalos onde a função é crescente e decrescente;
- identificar os máximos e mínimos relativos (com seus valores).
Informações relevantes fornecidas: a função polinomial
está definida para todo
. Não há pontos onde a derivada seja indefinida (polinômios têm derivada definida em todo
). A resolução seguirá encontrando
, localizando suas raízes (pontos críticos) e analisando o sinal de
em cada intervalo para classificar crescimento/decrescimento e extremos.
Passo 2
Conceito importante (explicado como numa prova, passo a passo):
- A derivada
representa a taxa de variação (a inclinação) da função em cada ponto. - Pontos críticos são os pontos onde
ou onde não existe. Aqui procuramos raízes de . - Se
muda de sinal de negativo para positivo ao passar por um ponto crítico , então tem um mínimo relativo em . - Se
muda de positivo para negativo ao passar por , então tem um máximo relativo em . - Como verificação alternativa, o teste da segunda derivada: se
então mínimo, se então máximo (quando existe).
Passo 3
Calcular a derivada
. Derivando termo a termo:
As derivadas são
,
,
,
. Assim:
Fatorando um
:
Passo 4
Encontrar as raízes do polinômio cúbico
. Testando raízes inteiras prováveis (divisores de
):
não;
, então
é raiz. Fazendo divisão polinomial (ou sintética) por
obtemos:
O quadrático fatora:
Portanto
As raízes de
são, então,
. Como
é definido em todo
, estes são todos os pontos críticos.
Passo 5
Analisar o sinal de
em cada intervalo determinado pelos pontos críticos. O fator
não altera sinais, logo basta analisar o produto
.
Intervalos naturais:
.
Escolhendo pontos teste e calculando o sinal de cada fator:
-
Para
, por exemplo : Três negativosproduto negativo . Logo é decrescente em . -
Para
, por exemplo : Dois negativos e um positivoproduto positivo . Logo é crescente em . -
Para
, por exemplo : Um negativoproduto negativo . Logo é decrescente em . -
Para
, por exemplo : Todos positivosproduto positivo . Logo é crescente em .
Resumo do sinal de
:
-
em e . -
em e .
Passo 6
Classificação dos pontos críticos usando o teste da primeira derivada (mudança de sinal):
- Em
: passa de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) mínimo relativo em . - Em
: passa de positivo para negativo máximo relativo em . - Em
: passa de negativo para positivo mínimo relativo em .
Como verificação rápida, a segunda derivada é
Avaliações:
Confirmação consistente com o teste da primeira derivada.
Passo 7
Calcular os valores de
nos pontos críticos para dar as coordenadas dos extremos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto os extremos relativos são os pontos
,
e
com as classificações obtidas no passo anterior.
Resposta
Pontos críticos:
Intervalos de crescimento:
e
Intervalos de decrescimento:
e
Máximos e mínimos relativos:
é máximo relativo.
é mínimo relativo.
é mínimo relativo.