Determinar os pontos de inflexão e fazer o estudo da concavidade das seguintes funções:
(e) f(x)=3 x^5-5 x^3 Resp: x=0 e x= pm raiz22

Passo 1

A função é f(x)=3 x^5 − 5 x^3 e a matéria que vamos usar é o teste da segunda derivada: pontos de inflexão são soluções de f’’(x)=0 em que a concavidade muda de sinal e concavidade vem do sinal de f’’(x).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas: a primeira derivada é
f'(x)=15 x^4 - 15 x^2=15 x^2(x^2-1)
e a segunda derivada é
f''(x)=ddx[15 x^2(x^2-1)]=60 x^3-30 x=30 x(2 x^2-1)

Passo 3

Para achar os candidatos a inflexão, igualamos f’’(x)=0, ou seja:
30 x(2 x^2-1)=0
Dessa equação vêm x=0 e 2 x^2−1=0 ⇒ x^2=1/2 ⇒ x=±\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Agora montamos o quadro de sinais de f’’(x)=30 x(2 x^2-1):
  • Em x<−\frac{\sqrt{2}}{2}: x é negativo e 2 x^2−1>0 ⇒ produto negativo ⇒ f’’<0 (concavidade para baixo).
  • Em −\frac{\sqrt{2}}{2}<x<0: x é negativo e 2 x^2−1<0 ⇒ produto positivo ⇒ f’’>0 (concavidade para cima).
  • Em 0<x<\frac{\sqrt{2}}{2}: x positivo e 2 x^2−1<0 ⇒ f’’<0 (concavidade para baixo).
  • Em x>\frac{\sqrt{2}}{2}: x positivo e 2 x^2−1>0 ⇒ f’’>0 (concavidade para cima).

Passo 5

Como em cada ponto x=0 e x=±\frac{\sqrt{2}}{2} o sinal de f’’ muda, todos são pontos de inflexão. Calculando os valores de f para completar os pontos:
f(0)=0,
fl(tfracraiz22r)=3l(tfracraiz22r)^5-5l(tfracraiz22r)^3=-7raiz28,
fl(-tfracraiz22r)=7raiz28

Resposta

Pontos de inflexão em (0,0), \bigl(\tfrac{\sqrt{2}}2,-\tfrac{7\sqrt{2}}8\bigr) e \bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}2,\tfrac{7\sqrt{2}}8\bigr). Concavidade: f’’<0 em (-∞,-\tfrac{\sqrt{2}}2)∪(0,\tfrac{\sqrt{2}}2) (côncavo para baixo) e f’’>0 em (-\tfrac{\sqrt{2}}2,0)∪(\tfrac{\sqrt{2}}2,∞) (côncavo para cima).

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