Determinar os pontos de inflexão e fazer o estudo da concavidade das seguintes funções:
(e)
Resp:
e
(e)
Passo 1
A função é f(x)=3 x^5 − 5 x^3 e a matéria que vamos usar é o teste da segunda derivada: pontos de inflexão são soluções de f’’(x)=0 em que a concavidade muda de sinal e concavidade vem do sinal de f’’(x).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas: a primeira derivada é
e a segunda derivada é
Passo 3
Para achar os candidatos a inflexão, igualamos f’’(x)=0, ou seja:
Dessa equação vêm x=0 e 2 x^2−1=0 ⇒ x^2=1/2 ⇒ x=±\frac{\sqrt{2}}{2}.
Passo 4
Agora montamos o quadro de sinais de f’’(x)=30 x(2 x^2-1):
- Em x<−\frac{\sqrt{2}}{2}: x é negativo e 2 x^2−1>0 ⇒ produto negativo ⇒ f’’<0 (concavidade para baixo).
- Em −\frac{\sqrt{2}}{2}<x<0: x é negativo e 2 x^2−1<0 ⇒ produto positivo ⇒ f’’>0 (concavidade para cima).
- Em 0<x<\frac{\sqrt{2}}{2}: x positivo e 2 x^2−1<0 ⇒ f’’<0 (concavidade para baixo).
- Em x>\frac{\sqrt{2}}{2}: x positivo e 2 x^2−1>0 ⇒ f’’>0 (concavidade para cima).
Passo 5
Como em cada ponto x=0 e x=±\frac{\sqrt{2}}{2} o sinal de f’’ muda, todos são pontos de inflexão. Calculando os valores de f para completar os pontos:
Resposta
Pontos de inflexão em
, \bigl(\tfrac{\sqrt{2}}2,-\tfrac{7\sqrt{2}}8\bigr) e \bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}2,\tfrac{7\sqrt{2}}8\bigr). Concavidade: f’’<0 em (-∞,-\tfrac{\sqrt{2}}2)∪(0,\tfrac{\sqrt{2}}2) (côncavo para baixo) e f’’>0 em (-\tfrac{\sqrt{2}}2,0)∪(\tfrac{\sqrt{2}}2,∞) (côncavo para cima).