Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento das seguintes funções e usando o teste da derivada primeira classifique os pontos críticos como pontos de máximo ou mínimo local:
(b) f(x)=x+1x Resp: Crescente: ] 1 ;+infty[ ou ]-infty ;-1[ Decrescente:[-1; 0[ e em ] 0 ; 1]

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função f(x)=x+1x cresce ou decresce e, usando o teste da derivada primeira, classificar seus pontos críticos como máximos ou mínimos locais. O conteúdo principal é o teste da derivada primeira.

Passo 2

Calculamos a derivada de f.
f'(x)=ddxl(x+1xr)=1-1x^2=x^2-1x^2

Passo 3

Identificamos os pontos críticos e restrições de domínio. Como f'(x)=0 quando x^2-1=0, temos x=pm1. Além disso, a função não está definida em x=0.

Passo 4

Estudamos o sinal de f'(x)=tfracx^2-1x^2: para |x|>1, x^2-1>0 e x^2>0, logo f'(x)>0; para 0<|x|<1, x^2-1<0 e x^2>0, logo f'(x)<0.

Passo 5

Da análise de sinal, concluímos os intervalos de crescimento e decrescimento:
  • crescente em ( -infty,-1)cup(1,infty),
  • decrescente em (-1,0)cup(0,1).

Passo 6

Para classificar os pontos críticos: em x=-1, f' muda de positivo para negativo, indicando máximo local; em x=1, f' muda de negativo para positivo, indicando mínimo local.

Resposta

Crescente em ( -infty,-1)cup(1,infty); decrescente em (-1,0)cup(0,1). O ponto x=-1 é máximo local e x=1 é mínimo local.

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