Seja F(x)=integral3^e f(t) d t, onde f(t)=integral2^ln t(u^4+1) e^u d u. Determine
F^prime prime(1).

Passo 1

O enunciado diz que estamos trabalhando com integrais e derivadas de integrais. A função é definida por
F(x)=integral3^xf(t),dt
sendo
f(t)=integral2^ln t(u^4+1)e^u,du
Queremos encontrar F''(1). Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de F(x) em relação a x é justamente a função integranda avaliada em t=x. Logo,
F'(x)=f(x)

Passo 3

Agora precisamos de F''(x)=f'(x). Como
f(x)=integral2^ln x(u^4+1)e^u,du
é uma integral com limite superior ln x, usamos a regra de diferenciar uma integral com limite variável. Se G(x)=integrala^h(x)g(u),du, então
G'(x)=g(h(x))cdot h'(x)
Aplicando aqui, com g(u)=(u^4+1)e^u e h(x)=ln x, obtemos
f'(x)=l((ln x)^4+1r)e^ln xcdotddx(ln x)

Passo 4

Vamos simplificar:
e^ln x=x
tfracddx(ln x)=1/x
Portanto,
f'(x)=l((ln x)^4+1r)xcdot1x= (ln x)^4+1

Passo 5

Finalmente, calculamos em x=1:
F''(1)=f'(1)=(ln 1)^4+1=0^4+1=1

Resposta

1

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