Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
f(x)=14 x^4+x^3-12 x^2-3 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de inflexão de
f(x)=14x^4 + x^3 - 12x^2 - 3x
e determinar os intervalos onde f é côncava para cima ou para baixo. O conteúdo principal é o teste da segunda derivada: calcular f''(x), resolver f''(x)=0 e analisar o sinal de f''.

Passo 2

Calculamos as derivadas:
f'(x)=ddxl(tfrac14x^4 + x^3 - tfrac12x^2 - 3xr) = x^3 + 3x^2 - x - 3,
f''(x)=ddxl(x^3 + 3x^2 - x - 3r) =3x^2 +6x -1

Passo 3

Procuramos as raízes de f''(x)=0:
3x^2 + 6x -1 = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
x = -6 pm raiz6^2 - 4cdot3cdot(-1)2cdot3 = -6 pm raiz36 +126 = -6 pm 2raiz3,26 = -3 pm 2raiz33

Passo 4

Como f''(x) é uma parábola com coeficiente líder positivo, ela é
côncava para cima onde f''(x)>0 e côncava para baixo onde f''(x)<0. Logo:
f é côncava para cima em
l(-infty,;tfrac-3-2raiz33r)cupl(tfrac-3+2raiz33,inftyr)
f é côncava para baixo em
l(tfrac-3-2raiz33,;tfrac-3+2raiz33r)

Passo 5

Para obter as coordenadas dos pontos de inflexão, avaliamos f em x1=-3-2raiz33 e x2=-3+2raiz33. Usando a relação f''(x)=0 para simplificar x^2, x^3 e x^4, encontra-se em ambos os casos
fl(x1r)=fl(x2r)=-1736

Resposta

Os pontos de inflexão são
l(tfrac-3-2raiz33,,-tfrac1736r) e l(tfrac-3+2raiz33,,-tfrac1736r)
A função é côncava para cima em
l(-infty,;tfrac-3-2raiz33r)cupl(tfrac-3+2raiz33,inftyr)
e côncava para baixo em
l(tfrac-3-2raiz33,;tfrac-3+2raiz33r)

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