Questão 1. (1,0 ponto) Encontre a área da região dentro de um laço da rosácea
(x^2+y^2)^3=4 x^2 y^2

Passo 1

O enunciado pede a área de um “laço” da curva
l(x^2+y^2r)^3=4x^2y^2
O conteúdo que vamos usar é a mudança para coordenadas polares, onde x=rcostheta, y=rsintheta, e a fórmula de área em polares
A=12integral r^2,dtheta

Passo 2

Substituímos x e y por polares. Então
(x^2+y^2)^3=r^6,
e
x^2y^2=r^2cos^2theta;r^2sin^2theta=r^4cos^2thetasin^2theta
A equação fica
r^6=4,r^4cos^2thetasin^2theta

Passo 3

Para rneq0 dividimos por r^4 e obtemos
r^2=4cos^2thetasin^2theta=(2costhetasintheta)^2=sin^2(2theta)
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r=|sin(2theta)|

Passo 4

Um laço corresponde ao intervalo de theta entre duas raízes consecutivas de r=0. As raízes de sin(2theta) ocorrem em theta=0, pi/2, pi\dots
Tomamos, por exemplo, thetain[0,pi/2]. Nesse intervalo sin(2theta)>=0, logo
r=sin(2theta), 0<=theta<=pi2
é um laço completo.

Passo 5

Aplicamos a fórmula de área em coordenadas polares ao laço em [0,pi/2]:
A=12integral0^pi/2r^2,dtheta =12integral0^pi/2sin^2(2theta),dtheta

Passo 6

Usamos a identidade sin^2(2theta)=tfrac1-cos(4theta)2. Então
A=12integral0^pi/21-cos(4theta)2,dtheta =14integral0^pi/2(1-cos(4theta)),dtheta

Passo 7

Calcule o integral:
integral0^pi/21,dtheta=pi2, integral0^pi/2cos(4theta),dtheta =l[tfracsin(4theta)4r]0^pi/2 =sin(2pi)4-sin(0)4=0
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A=14l(pi2-0r)=pi8

Resposta

pi8

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