Questão 1. (1,0 ponto) Encontre a área da região dentro de um laço da rosácea
Passo 1
O enunciado pede a área de um “laço” da curva
O conteúdo que vamos usar é a mudança para coordenadas polares, onde
,
, e a fórmula de área em polares
Passo 2
Substituímos
e
por polares. Então
e
A equação fica
Passo 3
Para
dividimos por
e obtemos
Logo
Passo 4
Um laço corresponde ao intervalo de
entre duas raízes consecutivas de
. As raízes de
ocorrem em
,
,
\dots
Tomamos, por exemplo, . Nesse intervalo
, logo
Tomamos, por exemplo,
é um laço completo.
Passo 5
Aplicamos a fórmula de área em coordenadas polares ao laço em
:
Passo 6
Usamos a identidade
. Então
Passo 7
Calcule o integral:
Logo