Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções têm concavidade voltada para cima ou para baixo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de inflexão de
e determinar em que intervalos a concavidade está voltada para cima ou para baixo.
Para isso vamos precisar calcular a segunda derivada , resolver
e fazer o teste de sinal de
.
Para isso vamos precisar calcular a segunda derivada
Passo 2
Calculamos a primeira derivada usando a regra do poder:
Passo 3
Derivamos novamente para obter a segunda derivada:
Passo 4
Para achar os pontos de inflexão, resolvemos
Passo 5
Agora testamos o sinal de
em cada lado de
:
Para , por exemplo em
,
Para
logo
é côncava para baixo em
.
Para , por exemplo em
,
Para
logo
é côncava para cima em
.
Passo 6
O ponto de inflexão tem abscissa
. Calculamos a ordenada
Portanto o ponto de inflexão é
.
Resposta
A função é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.
O único ponto de inflexão é .
O único ponto de inflexão é