Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções têm concavidade voltada para cima ou para baixo.
f(x)=4 x^{3}+3 x^{2}-6 x+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de inflexão de
f(x)=4x^{3}+3x^{2}-6x+1
e determinar em que intervalos a concavidade está voltada para cima ou para baixo.
Para isso vamos precisar calcular a segunda derivada f''(x), resolver f''(x)=0 e fazer o teste de sinal de f''(x).

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra do poder:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}+3x^{2}-6x+1\bigr) =12x^{2}+6x-6.

Passo 3

Derivamos novamente para obter a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(12x^{2}+6x-6\bigr) =24x+6.

Passo 4

Para achar os pontos de inflexão, resolvemos
f''(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad 24x+6=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{6}{24}=-\frac{1}{4}.

Passo 5

Agora testamos o sinal de f''(x) em cada lado de x=-\tfrac14:
Para x<-\tfrac14, por exemplo em x=-1,
f''(-1)=24(-1)+6=-18<0,
logo f é côncava para baixo em (-\infty,-\tfrac14).
Para x>-\tfrac14, por exemplo em x=0,
f''(0)=6>0,
logo f é côncava para cima em (-\tfrac14,+\infty).

Passo 6

O ponto de inflexão tem abscissa x=-\tfrac14. Calculamos a ordenada
f\bigl(-\tfrac14\bigr) =4\Bigl(-\tfrac14\Bigr)^{3}+3\Bigl(-\tfrac14\Bigr)^{2}-6\Bigl(-\tfrac14\Bigr)+1 =-\tfrac{1}{16}+\tfrac{3}{16}+1{,}5+1 =\tfrac{2}{16}+2{,}5 =\tfrac{1}{8}+2{,}5 =\tfrac{21}{8}.
Portanto o ponto de inflexão é \bigl(-\tfrac14,\tfrac{21}{8}\bigr).

Resposta

A função é côncava para baixo em \bigl(-\infty,-\tfrac14\bigr) e côncava para cima em \bigl(-\tfrac14,+\infty\bigr).
O único ponto de inflexão é \displaystyle\bigl(-\tfrac14,\tfrac{21}{8}\bigr).

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