Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as seguintes funções tem concavidade voltada para cima ou para baixo:
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que a gente determine os pontos de inflexão e identifique os intervalos em que a concavidade está voltada para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas até a segunda ordem e depois estudar o sinal de
.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada primeira e a segunda:
Passo 3
Para saber onde a concavidade é para cima ou para baixo, analisamos o sinal de
. Como o numerador
é sempre positivo, o sinal fica por conta de
:
- Se
(isto é, ), então : concavidade voltada para cima. - Se
(isto é, ), então : concavidade voltada para baixo.
Passo 4
Ponto de inflexão ocorre onde
muda de sinal e geralmente onde
ou é indefinida. Aqui:
- Nunca temos
, pois o numerador não se anula. -
é indefinida em , mas não pertence ao domínio de .
Logo, não há nenhum ponto de inflexão em
.
Resposta
A função
não possui pontos de inflexão no seu domínio. Ela é
– côncava para baixo em ,
– côncava para cima em .
– côncava para baixo em
– côncava para cima em