Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as seguintes funções tem concavidade voltada para cima ou para baixo:
f(x)=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=\frac{1}{x},
que a gente determine os pontos de inflexão e identifique os intervalos em que a concavidade está voltada para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas até a segunda ordem e depois estudar o sinal de f''(x).

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada primeira e a segunda:
f'(x)=\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)'=-\frac{1}{x^2},
f''(x)=\bigl(-\tfrac{1}{x^2}\bigr)'=2\frac{1}{x^3}=\frac{2}{x^3}.

Passo 3

Para saber onde a concavidade é para cima ou para baixo, analisamos o sinal de f''(x)=\tfrac{2}{x^3}. Como o numerador 2 é sempre positivo, o sinal fica por conta de x^3:
  • Se x^3>0 (isto é, x>0), então f''(x)>0: concavidade voltada para cima.
  • Se x^3<0 (isto é, x<0), então f''(x)<0: concavidade voltada para baixo.

Passo 4

Ponto de inflexão ocorre onde f''(x) muda de sinal e geralmente onde f''(x)=0 ou é indefinida. Aqui:
  • Nunca temos \tfrac{2}{x^3}=0, pois o numerador não se anula.
  • f''(x) é indefinida em x=0, mas x=0 não pertence ao domínio de f.
Logo, não há nenhum ponto de inflexão em \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Resposta

A função f(x)=\tfrac{1}{x} não possui pontos de inflexão no seu domínio. Ela é
– côncava para baixo em (-\infty,0),
– côncava para cima em (0,\infty).

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