Determine o pontos críticos das funções, se existirem.
y=x^{3}+2 x^{2}+x+2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
y = x^{3} + 2x^{2} + x + 2
Isto envolve calcular a derivada, igualá-la a zero e verificar onde ela não existe. Como é um polinômio, a derivada sempre existe, então basta resolver y'=0.

Passo 2

Calculamos a derivada de y em relação a x:
y' = \frac{d}{dx}\bigl(x^{3} + 2x^{2} + x + 2\bigr) = 3x^{2} + 4x + 1

Passo 3

Igualamos a derivada a zero para achar os candidatos a ponto crítico:
3x^{2} + 4x + 1 = 0
O discriminante é
\Delta = 4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4
Logo as raízes são
x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2\cdot 3} = \frac{-4 \pm 2}{6}
o que dá
\,x = -1 e \,x = -\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Agora encontramos os valores de y nesses x:
Para x = -1:
y(-1) = (-1)^{3} + 2(-1)^{2} + (-1) + 2 = -1 + 2 -1 + 2 = 2
Para x = -\tfrac{1}{3}:
y\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) = \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^{3} + 2\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^{2} + \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) + 2 = \frac{-1 + 6 - 9 + 54}{27} = \frac{50}{27}

Resposta

Os pontos críticos são
(-1,\,2) \quad\text{e}\quad \Bigl(-\tfrac{1}{3},\,\tfrac{50}{27}\Bigr).

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