Calcular a integral
\iint_{D}(x+2 y) d x d y, onde D é o domínio limitado por y=\frac{x+1}{2}, y=3, y=1, x=7

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\iint_{D}(x+2y)\,dx\,dy
no domínio D limitado por
y=\frac{x+1}{2},\quad y=1,\quad y=3,\quad x=7.
O conteúdo aqui é cálculo de integrais duplas usando Fubini, descrevendo o domínio e integrando em ordem dx\,dy.

Passo 2

Para parametrizar D, note que a reta y=(x+1)/2 equivale a
x=2y-1.
Nos limites em y, temos 1\le y\le3. Para cada y fixo, x varia da curva à esquerda x=2y-1 até a reta vertical x=7. Logo,
D=\bigl\{(x,y)\mid 1\le y\le3,\;2y-1\le x\le7\bigr\}.

Passo 3

Montamos a integral iterada em ordem dx\,dy:
\iint_{D}(x+2y)\,dx\,dy =\int_{y=1}^{3}\Bigl(\int_{x=2y-1}^{7}(x+2y)\,dx\Bigr)dy.

Passo 4

Calculemos a integral interna em x:
\int (x+2y)\,dx =\frac{x^2}{2}+2y\,x.
Avaliando de x=2y-1 até x=7
\left[\frac{x^2}{2}+2yx\right]_{2y-1}^{7} =\Bigl(\frac{49}{2}+14y\Bigr) -\Bigl(\frac{(2y-1)^2}{2}+2y(2y-1)\Bigr).

Passo 5

Simplificando o resultado interno:
\frac{49}{2}+14y -\frac{4y^2-4y+1}{2} -4y^2+2y =24-6y^2+18y.
Assim a integral externa vira
\int_{1}^{3}(24-6y^2+18y)\,dy.

Passo 6

Integramos em y:
\int(24-6y^2+18y)\,dy =24y-2y^3+9y^2.
Avaliando de 1 a 3:
\bigl(24\cdot3-2\cdot27+9\cdot9\bigr) -\bigl(24\cdot1-2\cdot1+9\cdot1\bigr) =99-31=68.

Resposta

68

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