Calcular a integral
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}|x-y| d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}|x - y|\,dx\,dy.
O conteúdo aqui é avaliação de integral dupla de uma função com valor absoluto. Para resolver, vamos particionar a região em que x - y é positivo ou negativo e usar simetria.

Passo 2

Como o quadrado [0,1]\times[0,1] e a função |x-y| são simétricos em relação à reta x=y, podemos escrever
I = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}|x - y|\,dx\,dy = 2\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}(x - y)\,dy\,dx,
pois na porção x\ge y temos |x-y|=x-y.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{x}(x - y)\,dy = \left[\,x\,y - \tfrac{y^{2}}{2}\right]_{y=0}^{y=x} = x^{2} - \tfrac{x^{2}}{2} = \tfrac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Substituindo na expressão de I e integrando em x:
I = 2\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{2}\,dx = \int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \left[\tfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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