Determinar a posição relativa entre os planos:
e
Passo 1
O enunciado dá três planos e pede a posição relativa entre eles. Os planos fornecidos são:
Informações relevantes que temos:
- Cada plano é dado na forma
. - Precisamos verificar, para cada par de planos, se são paralelos, coincidentes (iguais) ou se se intersectam (em reta ou em ponto).
- Se dois planos não são paralelos, eles se intersectam numa reta. Se três planos têm normais linearmente independentes, podem intersectar num ponto; se dois coincidem e o terceiro não é paralelo, a interseção dos três é uma reta.
Passo 2
Vou extrair os vetores normais de cada plano e explicar o porquê: o vetor normal de um plano
é
. Ele é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano; por isso, duas retas normais proporcionais indicam planos paralelos (ou coincidentes, se as equações também forem múltiplos).
Vetores normais:
Agora verifico proporcionalidade entre
e
. Se existir
tal que
, então os planos
e
são paralelos (ou coincidentes se as equações são múltiplos).
Calculo
comparando componentes:
Tomando obtemos
Tomando
Ou seja,
. Portanto
e
têm normais proporcionais (são paralelos ou iguais).
Para decidir se são coincidentes, verifico se toda a equação de
é o mesmo múltiplo da equação de
. Multiplicando a equação de
por
:
que é exatamente a equação de
. Conclusão:
é o mesmo plano que
; isto é,
e
são coincidentes.
Passo 3
Agora verifico
em relação a
(vale também para
, já que
). Verifico se
é proporcional a
.
Comparando
com
: se existisse
com
então 2
daria
, mas para a segunda componente 2
seria
que não é
. Logo não há
único satisfazendo todas as componentes; portanto
não é múltiplo de
. Conclusão:
não é paralelo a
(nem a
).
Quando dois planos não são paralelos, eles se intersectam numa reta. Assim
intersecta o plano
(que é o mesmo que
) numa reta.
Passo 4
Vou encontrar explicitamente a reta de interseção entre
e
. Isso também ajuda a entender a posição relativa (é uma reta comum a
e
, já que
).
Começo pelas equações (divido por 2 para simplificar):
Faço eliminação somando as duas equações para eliminar
:
No lado esquerdo
,
,
. No lado direito
. Logo
Assim
.
Substituo em
:
. Simplificando:
Escolho parâmetro
para
: seja
. Então
Escrevo a reta em forma vetorial (ponto + direção). Tomando
:
Verifiquei rapidamente que o ponto
satisfaz ambos os planos, logo é ponto da reta, e
é um vetor diretor.
Passo 5
Resumo das relações (interpretação geométrica):
-
e são coincidentes (mesmo plano). -
não é paralelo a nem a e, portanto, intersecta esse plano numa reta. - Como dois planos coincidem e o terceiro corta esse plano, a interseção comum aos três planos é exatamente a reta que acabei de calcular.