Determinar a posição relativa entre os planos:
\pi_{1}: 2 x+2 y-4 z+4=0, \pi_{2}:-3 x-3 y+6 z-6=0 e \pi_{3}:-2 x+2 y-8 z+4=0

Passo 1

O enunciado dá três planos e pede a posição relativa entre eles. Os planos fornecidos são:
\pi_{1}: 2x+2y-4z+4=0,
\pi_{2}: -3x-3y+6z-6=0,
\pi_{3}: -2x+2y-8z+4=0.
Informações relevantes que temos:
  • Cada plano é dado na forma ax+by+cz+d=0.
  • Precisamos verificar, para cada par de planos, se são paralelos, coincidentes (iguais) ou se se intersectam (em reta ou em ponto).
  • Se dois planos não são paralelos, eles se intersectam numa reta. Se três planos têm normais linearmente independentes, podem intersectar num ponto; se dois coincidem e o terceiro não é paralelo, a interseção dos três é uma reta.

Passo 2

Vou extrair os vetores normais de cada plano e explicar o porquê: o vetor normal de um plano ax+by+cz+d=0 é (a,b,c). Ele é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano; por isso, duas retas normais proporcionais indicam planos paralelos (ou coincidentes, se as equações também forem múltiplos).
Vetores normais:
n_{1}=(2,2,-4),
n_{2}=(-3,-3,6),
n_{3}=(-2,2,-8).
Agora verifico proporcionalidade entre n_{1} e n_{2}. Se existir k tal que n_{2}=k\,n_{1}, então os planos \pi_{1} e \pi_{2} são paralelos (ou coincidentes se as equações são múltiplos).
Calculo k comparando componentes:
Tomando k=-\tfrac{3}{2} obtemos
-\tfrac{3}{2}\,(2,2,-4)=(-3,-3,6)=n_{2}.
Ou seja, n_{2}=-\tfrac{3}{2}n_{1}. Portanto \pi_{1} e \pi_{2} têm normais proporcionais (são paralelos ou iguais).
Para decidir se são coincidentes, verifico se toda a equação de \pi_{2} é o mesmo múltiplo da equação de \pi_{1}. Multiplicando a equação de \pi_{1} por -\tfrac{3}{2}:
-\tfrac{3}{2}(2x+2y-4z+4) = -3x-3y+6z-6,
que é exatamente a equação de \pi_{2}. Conclusão: \pi_{2} é o mesmo plano que \pi_{1}; isto é, \pi_{1} e \pi_{2} são coincidentes.

Passo 3

Agora verifico \pi_{3} em relação a \pi_{1} (vale também para \pi_{2}, já que \pi_{2}=\pi_{1}). Verifico se n_{3} é proporcional a n_{1}.
Comparando n_{1}=(2,2,-4) com n_{3}=(-2,2,-8): se existisse k com n_{3}=k\,n_{1} então 2 k=-2 daria k=-1, mas para a segunda componente 2 k seria -2 que não é 2. Logo não há k único satisfazendo todas as componentes; portanto n_{3} não é múltiplo de n_{1}. Conclusão: \pi_{3} não é paralelo a \pi_{1} (nem a \pi_{2}).
Quando dois planos não são paralelos, eles se intersectam numa reta. Assim \pi_{3} intersecta o plano \pi_{1} (que é o mesmo que \pi_{2}) numa reta.

Passo 4

Vou encontrar explicitamente a reta de interseção entre \pi_{1} e \pi_{3}. Isso também ajuda a entender a posição relativa (é uma reta comum a \pi_{1} e \pi_{2}, já que \pi_{2}=\pi_{1}).
Começo pelas equações (divido por 2 para simplificar):
\pi_{1}:\; x+y-2z=-2 \quad\text{(obtido de }2x+2y-4z+4=0\text{)},
\pi_{3}:\; -x+y-4z=-2 \quad\text{(obtido de }-2x+2y-8z+4=0\text{)}.
Faço eliminação somando as duas equações para eliminar x:
(x+y-2z)+(-x+y-4z)= -2 + (-2).
No lado esquerdo x-x=0, y+y=2y, -2z-4z=-6z. No lado direito -4. Logo
2y-6z=-4 \quad\Rightarrow\quad y-3z=-2.
Assim y=3z-2.
Substituo em \pi_{1}: x+(3z-2)-2z=-2. Simplificando:
x+z-2=-2 \quad\Rightarrow\quad x+z=0 \quad\Rightarrow\quad x=-z.
Escolho parâmetro t para z: seja z=t. Então
x=-t,\qquad y=3t-2,\qquad z=t.
Escrevo a reta em forma vetorial (ponto + direção). Tomando t\in\mathbb{R}:
r:\\ (x,y,z)=(0,-2,0)+t(-1,3,1).
Verifiquei rapidamente que o ponto (0,-2,0) satisfaz ambos os planos, logo é ponto da reta, e (-1,3,1) é um vetor diretor.

Passo 5

Resumo das relações (interpretação geométrica):
  • \pi_{1} e \pi_{2} são coincidentes (mesmo plano).
  • \pi_{3} não é paralelo a \pi_{1} nem a \pi_{2} e, portanto, intersecta esse plano numa reta.
  • Como dois planos coincidem e o terceiro corta esse plano, a interseção comum aos três planos é exatamente a reta que acabei de calcular.

Resposta

\pi_{1} e \pi_{2}: coincidentes.
\pi_{3} intersecta \pi_{1} (e \pi_{2}) numa reta dada por (x,y,z)=(0,-2,0)+t(-1,3,1),\\ t\in\mathbb{R}.

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