Determinar a posição relativa entre os planos:
\pi_{1}: 2 x+2 y-4 z+2=0, \pi_{2}:-3 x-3 y+6 z-6=0 e \pi_{3}:-2 x+2 y-8 z+4=0

Passo 1

O enunciado dá três planos e pede a posição relativa entre eles (ou seja: quais são paralelos, coincidentes ou concorrentes/intersectantes). As informações do enunciado são:
\pi_{1}: 2x+2y-4z+2=0
\pi_{2}: -3x-3y+6z-6=0
\pi_{3}: -2x+2y-8z+4=0
O que precisamos determinar, explicitamente:
  • Se alguns pares de planos são paralelos ou coincidentes (normais proporcionais ou não).
  • Se não são paralelos, determinar as retas de interseção entre pares de planos (quando houver).
  • Se as três se intersectam num ponto comum ou não.

Passo 2

Primeira ferramenta: vetor normal ao plano. Lembra que um plano escrito como \,ax+by+cz+d=0\, tem vetor normal \,(a,b,c). Vou extrair os vetores normais dos três planos:
\displaystyle n_{1}=(2,2,-4) para \pi_{1}.
\displaystyle n_{2}=(-3,-3,6) para \pi_{2}.
\displaystyle n_{3}=(-2,2,-8) para \pi_{3}.
Explicando: o vetor normal é importante porque indica a orientação do plano; se dois vetores normais são proporcionais, os planos são paralelos ou coincidentes.

Passo 3

Verificar proporção entre n_{1} e n_{2}. Procuro k tal que n_{2}=k n_{1}.
Comparando componentes: se k existe, deve satisfazer
-3 = k\cdot 2,\quad -3 = k\cdot 2,\quad 6 = k\cdot (-4).
Da primeira igualdade k=-\tfrac{3}{2}=-1{,}5. Testando na terceira: -1{,}5\cdot(-4)=6, bate certinho. Logo n_{2}=-\tfrac{3}{2}n_{1}. Conclusão: \pi_{1} e \pi_{2} têm normais proporcionais, portanto são paralelos ou coincidentes.

Passo 4

Para decidir entre paralelos distintos ou coincidentes, comparo os termos independentes também. Se existe um escalar k com (a_2,b_2,c_2,d_2)=k(a_1,b_1,c_1,d_1) então são coincidentes; caso contrário são paralelos distintos.
Temos k=-\tfrac{3}{2}. Multiplicando toda a equação de \pi_{1} por k:
k\cdot(2x+2y-4z+2)= -3x-3y+6z-3.
Observe que o termo independente resultante é -3, mas o termo independente de \pi_{2} é -6. Como -6\neq -3, não há igualdade completa dos coeficientes: portanto \pi_{1} e \pi_{2} são planos paralelos distintos.

Passo 5

Quero também calcular a distância entre \pi_{1} e \pi_{2} — isso confirma que são distintos e dá um número útil. Para aplicar a fórmula, é conveniente escrever as duas equações com o mesmo vetor normal. Multiplico \pi_{2} por -\tfrac{2}{3} (inverso de -\tfrac{3}{2}) para obter o mesmo n de \pi_{1}:
Multiplicando \pi_{2} por -\tfrac{2}{3} dá a equação
2x+2y-4z+4=0.
Agora ambas têm o mesmo a,b,c. A fórmula da distância entre dois planos paralelos \,ax+by+cz+d_1=0 e \,ax+by+cz+d_2=0 é
\text{dist}=\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Aqui d_1=2 (de \pi_{1}) e d_2=4 (da forma escalada de \pi_{2}). Calculando:
\text{dist}=\frac{|4-2|}{\sqrt{2^2+2^2+(-4)^2}}=\frac{2}{\sqrt{4+4+16}}=\frac{2}{\sqrt{24}}=\frac{1}{\sqrt{6}}.

Passo 6

Agora trato \pi_{3}. Verifico se n_{3} é proporcional a n_{1} (ou n_{2}). Para isso tento encontrar k tal que n_{3}=k n_{1}:
(-2,2,-8)=k(2,2,-4).
Da primeira componente: -2=2k\Rightarrow k=-1. Testando na segunda: 2 = 2k = 2(-1) = -2, o que não bate. Logo não existe escalar comum: n_{3} não é proporcional a n_{1}. Conclusão: \pi_{3} não é paralela a \pi_{1} nem a \pi_{2}. Então \pi_{3} intersecta \pi_{1} e \pi_{2} ao longo de retas (ou, raramente, poderia ser concorrente com ambos num ponto se \pi_1 e \pi_2 se cruzassem, mas sabemos que \pi_1 e \pi_2 são paralelos, então não há ponto comum aos três).

Passo 7

Calcular a reta interseção [L_{13}=\pi_{1}\cap\pi_{3}). Vou resolver o sistema formado por \pi_{1} e \pi_{3}. Para facilitar, divido \pi_{1} e \pi_{3} por 2 quando possível:
\pi_{1}
x+y-2z+1=0 \quad\text{(isto é, }x=-y+2z-1\text{).}é
\pi_{3}
-x+y-4z+2=0.
Substituo x de \pi_{1} na equação de \pi_{3}:
-(-y+2z-1)+y-4z+2=0.
Desenvolvendo:
y-2z+1+y-4z+2=0 \Rightarrow 2y-6z+3=0.
Isso implica
y=3z-\tfrac{3}{2}.
Substituindo em x=-y+2z-1:
x = -(3z-\tfrac{3}{2})+2z-1 = -z+\tfrac{1}{2}.
Tomando z=t como parâmetro, obtemos a parametrização da reta:
\begin{cases} x=-t+\tfrac{1}{2},\\[4pt] y=3t-\tfrac{3}{2},\\[4pt] z=t. \end{cases}
Em forma vetorial:
L_{13}:\\ (x,y,z)=\Big(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2},0\Big)+t(-1,3,1).
Aqui o vetor diretor é (v=(-1,3,1)].]

Passo 8

Calcular a reta interseção L_{23}=\pi_{2}\cap\pi_{3}\). Uso a forma escalada de \(\pi_{2}\) que tem os mesmos coeficientes \(a,b,c\) de \(\pi_{1}\): \[\pi_{2}' : 2x+2y-4z+4=0 \quad\Rightarrow\quad x+y-2z+2=0,
ou seja x=-y+2z-2. Substituo na equação de \pi_{3} (a mesma usada antes):
-(-y+2z-2)+y-4z+2=0.
Desenvolvendo:
y-2z+2+y-4z+2=0 \Rightarrow 2y-6z+4=0.
Assim
y=3z-2.
E
x=-y+2z-2 = -(3z-2)+2z-2 = -z.
Tomando z=t obtemos:
\begin{cases} x=-t,\\[4pt] y=3t-2,\\[4pt] z=t. \end{cases}
Em forma vetorial:
L_{23}:\\ (x,y,z)=(0,-2,0)+t(-1,3,1).
Vemos que o vetor diretor também é (v=(-1,3,1)].]

Passo 9

Comparando L_{13} e L_{23}:
  • Ambas têm o mesmo vetor diretor v=(-1,3,1). Isso significa que as duas retas são paralelas (ou coincidentes).
  • Para verificar coincidência, verifico se um ponto de L_{13} está em L_{23}. Ponto de L_{13} quando t=0 é \big(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2},0\big). Para que esteja em L_{23} precisaria existir s tal que
(0,-2,0)+s(-1,3,1)=\Big(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2},0\Big).
Da terceira componente 0+s\cdot 1=0 segue s=0. Com s=0 a segunda componente dá -2=-\tfrac{3}{2}, contradição. Logo o ponto não pertence, as retas são paralelas distintas.
Intuição geométrica rápida: duas retas de interseção de um mesmo plano \pi_3 com dois planos paralelos são sempre paralelas entre si (ou coincidentes se os dois planos paralelos coincidirem), então faz sentido que sejam paralelas distintas.

Passo 10

Conclusões finais (resumindo a situação geométrica, com incentivo rápido: você já está detonando essa questão!):
  • \pi_{1} e \pi_{2} são paralelos e distintos. A distância entre elas é \tfrac{1}{\sqrt{6}}.
  • \pi_{3} não é paralelo aos outros dois; ela intersecta \pi_{1} e \pi_{2} em duas retas.
  • As retas L_{13}=\pi_{1}\cap\pi_{3} e L_{23}=\pi_{2}\cap\pi_{3} têm ambas vetor diretor (-1,3,1), portanto são paralelas entre si e distintas.
  • Não existe ponto comum às três (não há interseção tripla), porque \pi_{1} e \pi_{2} não se encontram.

Resposta

\pi_{1} e \pi_{2} são planos paralelos distintos (distância 1/\sqrt{6}).
\pi_{3} intersecta \pi_{1} e \pi_{2} formando duas retas paralelas distintas:
L_{13}:\\ (x,y,z)=\big(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2},0\big)+t(-1,3,1) e
L_{23}:\\ (x,y,z)=(0,-2,0)+t(-1,3,1).
Não há ponto comum às três.

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