Determinar a posição relativa entre os planos: \pi_{1}: 2 x+2 y-4 z+2=0, \pi_{2}:-3 x-3 y+6 z-6=0 e \pi_{3}:-2 x+2 y-8 z+4=0
Passo 1
O enunciado dá três planos e pede a posição relativa entre eles (ou seja: quais são paralelos, coincidentes ou concorrentes/intersectantes). As informações do enunciado são:
Se alguns pares de planos são paralelos ou coincidentes (normais proporcionais ou não).
Se não são paralelos, determinar as retas de interseção entre pares de planos (quando houver).
Se as três se intersectam num ponto comum ou não.
Passo 2
Primeira ferramenta: vetor normal ao plano. Lembra que um plano escrito como \,ax+by+cz+d=0\, tem vetor normal \,(a,b,c). Vou extrair os vetores normais dos três planos:
\displaystyle n_{1}=(2,2,-4) para \pi_{1}. \displaystyle n_{2}=(-3,-3,6) para \pi_{2}. \displaystyle n_{3}=(-2,2,-8) para \pi_{3}.
Explicando: o vetor normal é importante porque indica a orientação do plano; se dois vetores normais são proporcionais, os planos são paralelos ou coincidentes.
Passo 3
Verificar proporção entre n_{1} e n_{2}. Procuro k tal que n_{2}=k n_{1}.
Comparando componentes: se k existe, deve satisfazer
Da primeira igualdade k=-\tfrac{3}{2}=-1{,}5. Testando na terceira: -1{,}5\cdot(-4)=6, bate certinho. Logo n_{2}=-\tfrac{3}{2}n_{1}. Conclusão: \pi_{1} e \pi_{2} têm normais proporcionais, portanto são paralelos ou coincidentes.
Passo 4
Para decidir entre paralelos distintos ou coincidentes, comparo os termos independentes também. Se existe um escalar k com (a_2,b_2,c_2,d_2)=k(a_1,b_1,c_1,d_1) então são coincidentes; caso contrário são paralelos distintos.
Temos k=-\tfrac{3}{2}. Multiplicando toda a equação de \pi_{1} por k:
k\cdot(2x+2y-4z+2)= -3x-3y+6z-3.
Observe que o termo independente resultante é -3, mas o termo independente de \pi_{2} é -6. Como -6\neq -3, não há igualdade completa dos coeficientes: portanto \pi_{1} e \pi_{2} são planos paralelos distintos.
Passo 5
Quero também calcular a distância entre \pi_{1} e \pi_{2} — isso confirma que são distintos e dá um número útil. Para aplicar a fórmula, é conveniente escrever as duas equações com o mesmo vetor normal. Multiplico \pi_{2} por -\tfrac{2}{3} (inverso de -\tfrac{3}{2}) para obter o mesmo n de \pi_{1}:
Multiplicando \pi_{2} por -\tfrac{2}{3} dá a equação
2x+2y-4z+4=0.
Agora ambas têm o mesmo a,b,c. A fórmula da distância entre dois planos paralelos \,ax+by+cz+d_1=0 e \,ax+by+cz+d_2=0 é
\text{dist}=\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Aqui d_1=2 (de \pi_{1}) e d_2=4 (da forma escalada de \pi_{2}). Calculando:
Agora trato \pi_{3}. Verifico se n_{3} é proporcional a n_{1} (ou n_{2}). Para isso tento encontrar k tal que n_{3}=k n_{1}:
(-2,2,-8)=k(2,2,-4).
Da primeira componente: -2=2k\Rightarrow k=-1. Testando na segunda: 2 = 2k = 2(-1) = -2, o que não bate. Logo não existe escalar comum: n_{3} não é proporcional a n_{1}. Conclusão: \pi_{3} não é paralela a \pi_{1} nem a \pi_{2}. Então \pi_{3} intersecta \pi_{1} e \pi_{2} ao longo de retas (ou, raramente, poderia ser concorrente com ambos num ponto se \pi_1 e \pi_2 se cruzassem, mas sabemos que \pi_1 e \pi_2 são paralelos, então não há ponto comum aos três).
Passo 7
Calcular a reta interseção [L_{13}=\pi_{1}\cap\pi_{3}). Vou resolver o sistema formado por \pi_{1} e \pi_{3}. Para facilitar, divido \pi_{1} e \pi_{3} por 2 quando possível:
\pi_{1} dá
x+y-2z+1=0 \quad\text{(isto é, }x=-y+2z-1\text{).}
\pi_{3} dá
-x+y-4z+2=0.
Substituo x de \pi_{1} na equação de \pi_{3}:
-(-y+2z-1)+y-4z+2=0.
Desenvolvendo:
y-2z+1+y-4z+2=0 \Rightarrow 2y-6z+3=0.
Isso implica
y=3z-\tfrac{3}{2}.
Substituindo em x=-y+2z-1:
x = -(3z-\tfrac{3}{2})+2z-1 = -z+\tfrac{1}{2}.
Tomando z=t como parâmetro, obtemos a parametrização da reta:
Calcular a reta interseção L_{23}=\pi_{2}\cap\pi_{3}\). Uso a forma escalada de \(\pi_{2}\) que tem os mesmos coeficientes \(a,b,c\) de \(\pi_{1}\):
\[\pi_{2}' : 2x+2y-4z+4=0 \quad\Rightarrow\quad x+y-2z+2=0,
ou seja x=-y+2z-2. Substituo na equação de \pi_{3} (a mesma usada antes):
Ambas têm o mesmo vetor diretor v=(-1,3,1). Isso significa que as duas retas são paralelas (ou coincidentes).
Para verificar coincidência, verifico se um ponto de L_{13} está em L_{23}. Ponto de L_{13} quando t=0 é \big(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2},0\big). Para que esteja em L_{23} precisaria existir s tal que
Da terceira componente 0+s\cdot 1=0 segue s=0. Com s=0 a segunda componente dá -2=-\tfrac{3}{2}, contradição. Logo o ponto não pertence, as retas são paralelas distintas.
Intuição geométrica rápida: duas retas de interseção de um mesmo plano \pi_3 com dois planos paralelos são sempre paralelas entre si (ou coincidentes se os dois planos paralelos coincidirem), então faz sentido que sejam paralelas distintas.
Passo 10
Conclusões finais (resumindo a situação geométrica, com incentivo rápido: você já está detonando essa questão!):
\pi_{1} e \pi_{2} são paralelos e distintos. A distância entre elas é \tfrac{1}{\sqrt{6}}.
\pi_{3} não é paralelo aos outros dois; ela intersecta \pi_{1} e \pi_{2} em duas retas.
As retas L_{13}=\pi_{1}\cap\pi_{3} e L_{23}=\pi_{2}\cap\pi_{3} têm ambas vetor diretor (-1,3,1), portanto são paralelas entre si e distintas.
Não existe ponto comum às três (não há interseção tripla), porque \pi_{1} e \pi_{2} não se encontram.
Resposta
\pi_{1} e \pi_{2} são planos paralelos distintos (distância 1/\sqrt{6}). \pi_{3} intersecta \pi_{1} e \pi_{2} formando duas retas paralelas distintas: L_{13}:\\ (x,y,z)=\big(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2},0\big)+t(-1,3,1) e L_{23}:\\ (x,y,z)=(0,-2,0)+t(-1,3,1).
Não há ponto comum às três.